複素積分問題20

シェアする

 

※複素積分の一覧はこちらの後半部分

複素関数の解説と問題の一覧ページ。問題の方は基本レベルから応用、発展まで20問ほどありますので、ぜひ挑戦してみてください。複素積分問題は複素数の性質を利用して実関数積分を解くというものです。

 

問題

 

 

 

解法1

複素積分の方法です。複素積分を知っていれば、普通はこちらで解くと思います。

 

 

\(f(z)=\displaystyle\frac{\mathrm{Log} z}{z^2+1}\)として、留数定理より

 

\(\displaystyle\int_{C_{1}} \displaystyle\frac{\mathrm{Log} z}{z^2+1}dz+\displaystyle\int_{C_{2}} \displaystyle\frac{\mathrm{Log} z}{z^2+1}dz+\displaystyle\int_{C_{3}} \displaystyle\frac{\mathrm{Log} z}{z^2+1}dz+\displaystyle\int_{C_{4}} \displaystyle\frac{\mathrm{Log} z}{z^2+1}dz=2\pi i(留数和)\)

 

左辺第一項と第三項

\(\displaystyle\int_{C_{1}} \displaystyle\frac{\log z}{z^2+1}dz+\displaystyle\int_{C_{3}} \displaystyle\frac{\log z}{z^2+1}dz\)

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{\log x}{x^2+1}dx+\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{\log x+\pi i}{x^2+1} dx\)

 

\(=2\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{\log x}{x^2+1}dx+\pi i\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{dx}{x^2+1}\)

 

左辺第二項と第四項

結果から言うと、\(R\to\infty\)、\(r\to 0\)極限でともに\(0\)になる。

 

第二項

\(|z|=R\to \infty\) で \(z f(z)\to 0\)より 

\(\biggl|\displaystyle\int_{外円} f(z) dz\biggr|\leq \displaystyle\int_{外円}|f(z)||dz|=\pi r |f(z)|=\pi |zf(z)| \to 0\) 

 

\(z f(z)\to 0\)は\(z=Re^{i\theta}\)とおいて考えれば

\(zf(z)=\displaystyle\frac{z\mathrm{Log} z}{z^2+1}=\displaystyle\frac{Re^{i\theta}(\log R+i\theta)}{R^2 e^{2i\theta}+1} \to 0\)

 

第四項

\(|z|=r \to 0\) で \(z f(z)\to 0\)より 

\(\biggl|\displaystyle\int_{内円} f(z) dz\biggr|\leq \displaystyle\int_{内円}|f(z)||dz|=\pi r |f(z)|=\pi |zf(z)| \to 0\) 

 

\(z f(z)\to 0\)は\(z=re^{i\theta}\)とおいて考えれば

\(zf(z)=\displaystyle\frac{z\mathrm{Log} z}{z^2+1}=\displaystyle\frac{re^{i\theta}(\log r+i\theta)}{r^2 e^{2i\theta}+1} \to 0\)

 

右辺

上半面の極は \(z=i\) のみ。

 

\(留数和=2\pi i\biggl(\displaystyle\frac{\log i}{2i}\biggr)=\pi\times\biggl(\displaystyle\frac{\pi i}{2}\biggr)=\displaystyle\frac{\pi^2 i}{2}\)

 

まとめ

\(2\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{\log x}{x^2+1}dx+\pi i\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{dx}{x^2+1}=\displaystyle\frac{\pi^2 i}{2}\)

 

実部を比較することにより

 

\(\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{\log x}{x^2+1}dx=0\) を得る。

 

※虚部を比較すると \(\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{dx}{x^2+1}=\displaystyle\frac{\pi}{2}\) が得られる。

 

 

解法2

少し技巧的な方法で解いてみます。

 

\(\displaystyle\int_{0}^{1} \displaystyle\frac{\log x}{x^2+1}dx\)

 

\(=\displaystyle\int_{\infty}^{1} \displaystyle\frac{\log \displaystyle\frac{1}{t}}{\displaystyle\frac{1}{t^2}+1}\cdot \displaystyle\frac{-dt}{t^2}\)  ※\(x=\displaystyle\frac{1}{t}\)と変換

 

\(=\displaystyle\int_{1}^{\infty} \displaystyle\frac{-\log t}{t^2+1}dt\)

 

\(=-\displaystyle\int_{1}^{\infty} \displaystyle\frac{\log x}{x^2+1}dx\)

 

 

よって問題の積分は以下のように変形できる。

\(\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{\log x}{x^2+1}dx\)

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{1} \displaystyle\frac{\log x}{x^2+1}dx\)\(+\displaystyle\int_{1}^{\infty} \displaystyle\frac{\log x}{x^2+1}dx\)

 

\(=-\displaystyle\int_{1}^{\infty} \displaystyle\frac{\log x}{x^2+1}dx\)\(+\displaystyle\int_{1}^{\infty} \displaystyle\frac{\log x}{x^2+1}dx\)   ※第一項は上のことを使った。

 

\(=0\)

 

答え

\(\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{\log x}{x^2+1}dx=0\)

 

シェアする