複素関数問題3

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三角関数型

 

\(\displaystyle\int_{0}^{2\pi} f(\cos \theta, \sin\theta) d\theta\) 型を解いていきます。

 

\(z=e^{i\theta}\) とおくと、経路は単位円一周になり、

 

\(z=e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\) \(\cdots\) ①

\(z^{-1}=e^{-i\theta}=\cos\theta-i\sin\theta\) \(\cdots\) ②

 

①+②から \(\cos\theta=\displaystyle\frac{z+z^{-1}}{2}\)

①-②から \(\sin\theta=\displaystyle\frac{z-z^{-1}}{2i}\)

 

また \(\displaystyle\frac{dz}{d\theta}=ie^{i\theta}=iz\)

 

まとめると 

\(\displaystyle\int_{0}^{2\pi} f(\cos \theta, \sin\theta) d\theta=\displaystyle\int_{z=|1|} f(\displaystyle\frac{z+z^{-1}}{2}, \displaystyle\frac{z-z^{-1}}{2i}) \displaystyle\frac{dz}{iz}\)

 

問題

\(\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\displaystyle\frac{d\theta}{5-4\cos \theta}\)

 

 

 

解答

\(z=e^{i\theta}\)  とおく。

 

\(z+z^{-1}=2\cos\theta\) \(d\theta=\displaystyle\frac{dz}{iz}\)を問題に代入する。(経路も変わる)

 

\(\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\displaystyle\frac{d\theta}{5-4\cos \theta}\)

 

\(=\displaystyle\int_{C}\displaystyle\frac{1}{5-2(z+z^{-1})}\cdot\displaystyle\frac{dz}{iz}\)    \(\cdots\)  代入した

 

\(=i\displaystyle\int_{C}\displaystyle\frac{dz}{2z^2-5z+2}\)    \(\cdots\)  整理した

 

\(=\displaystyle\frac{i}{2}\displaystyle\int_{C}\displaystyle\frac{dz}{(z-2)(z-\frac{1}{2})}\)

 

経路は単位円であり、内部にある極は \(z=\displaystyle\frac{1}{2}\)なので

 

\(i\cdot 2\pi i  \biggl[\displaystyle\frac{1}{(2z^2-5z+2)’}\biggr]_{z=\frac{1}{2}}\)    \(\cdots\)    1位の極の場合の公式

 

\(=\displaystyle\frac{2\pi}{3}\)

 

コーシーの積分公式使ってもよい。

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