複素積分問題3

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※複素積分の一覧はこちらの後半部分

複素関数の解説と問題の一覧ページ。問題の方は基本レベルから応用、発展まで20問ほどありますので、ぜひ挑戦してみてください。複素積分問題は複素数の性質を利用して実関数積分を解くというものです。

 

問題

\(\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\displaystyle\frac{d\theta}{5-4\cos \theta}\)

 

 

解答

一般論

三角関数が入る場合の多くの解き方です。

 

\(z=e^{i\theta}\) とおくと、経路は単位円一周になり、

 

\(z=e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\) \(\cdots\) ①

\(z^{-1}=e^{-i\theta}=\cos\theta-i\sin\theta\) \(\cdots\) ②

 

①+②から \(\cos\theta=\displaystyle\frac{z+z^{-1}}{2}\)

①-②から \(\sin\theta=\displaystyle\frac{z-z^{-1}}{2i}\)

 

また \(\displaystyle\frac{dz}{d\theta}=ie^{i\theta}=iz\)

 

まとめると 

\(\displaystyle\int_{0}^{2\pi} f(\cos \theta, \sin\theta) d\theta=\displaystyle\int_{z=|1|} f(\displaystyle\frac{z+z^{-1}}{2}, \displaystyle\frac{z-z^{-1}}{2i}) \displaystyle\frac{dz}{iz}\)

 

今回

\(z+z^{-1}=2\cos\theta\) \(d\theta=\displaystyle\frac{dz}{iz}\)を問題に代入する。(経路も変わる)

 

\(\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\displaystyle\frac{d\theta}{5-4\cos \theta}\)

 

\(=\displaystyle\int_{C}\displaystyle\frac{1}{5-2(z+z^{-1})}\cdot\displaystyle\frac{dz}{iz}\)    \(\cdots\)  代入した

 

\(=i\displaystyle\int_{C}\displaystyle\frac{dz}{2z^2-5z+2}\)    \(\cdots\)  整理した

 

\(=\displaystyle\frac{i}{2}\displaystyle\int_{C}\displaystyle\frac{dz}{(z-2)(z-\frac{1}{2})}\)

 

経路は単位円であり、内部にある極は \(z=\displaystyle\frac{1}{2}\)なので

 

\(i\cdot 2\pi i  \biggl[\displaystyle\frac{1}{(2z^2-5z+2)’}\biggr]_{z=\frac{1}{2}}\)    \(\cdots\)    1位の極の場合の公式

 

\(=\displaystyle\frac{2\pi}{3}\)

 

コーシーの積分公式使ってもよい。

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