複素関数問題4

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\(f(x)\)型

\(\displaystyle\int_{-\infty}^{infty} f(x)dx\) 型の積分計算を解いていきます。\(f(x)\) が偶関数の場合は積分範囲が\(0\)~\(\infty\)も解ける。

上のような経路を取る。

「半円経路(\(C_{1}\))」+「実軸上(C_{2})」=「一周」

\(C_{1}\)経路は0、\(C_{2}\)経路が求めるもの、一周は留数使って計算します。

具体的な問題で見てみましょう。

問題

\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\frac{dx}{x^4+1}\)

解答

\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\frac{dx}{x^4+1}\)

上の経路での積分を考えます。

「一周」=「円(\(C_{1}\))」+「実軸上(\(C_{2}\))」

\(\displaystyle\int_{一周} \frac{1}{z^4+1}dz\)\(=\displaystyle\int_{C_{1}} \displaystyle\frac{1}{z^4+1}dz+\displaystyle\int_{-R}^{R}\displaystyle\frac{1}{x^4+1}dx\)

左辺

領域内の極(\(z^4+1=0\)の解で上半面にあるもの)は

\(\alpha=e^{\frac{i\pi}{4}}\) と \(\beta=e^{\frac{3i\pi}{4}}\)

※\(R\to\infty\)にするため、上半面にある極がすべて経路内に入る。

これら二点でのそれぞれの留数は

\( Res\biggl( \displaystyle\frac{1}{1+z^4},\alpha\biggr)=\displaystyle\frac{1}{4\alpha^3}=\displaystyle\frac{-1-i}{4\sqrt 2}\)

\( Res\biggl( \displaystyle\frac{1}{1+z^4},\beta\biggr)=\displaystyle\frac{1}{4\beta^3}=\displaystyle\frac{1-i}{4\sqrt 2}\)

よってこの経路に沿った積分値は

\(\displaystyle\int_{C} \frac{1}{z^4+1}dz=\)\(2\pi i\biggl(\displaystyle\frac{-1-i}{4\sqrt 2}+\displaystyle\frac{1-i}{4\sqrt 2}\biggr)=\)\(\displaystyle\frac{\pi}{\sqrt 2}\)

右辺第一項

 R→∞にすると第一項は問題の式。

右辺第二項

\(R\to\infty\)のときを考える。

\(|z|>1\) (\(R\to\infty\)なので)より、\(|z+1|^4\geq |z|^4-1=R^4-1>0\)

\(|f(z)| \leq \displaystyle\frac{1}{z^4+1}\) となる。

よって \(\biggl|\displaystyle\int_{C_{1}} \displaystyle\frac{1}{z^4+1}dz\biggr| \leq \displaystyle\int_{C_{1}} \biggl|\displaystyle\frac{1}{z^4+1}\biggr||dz| \leq \displaystyle\frac{\pi R}{R^4-1}→0\) 

※\(|dz|=\pi R\)は半円より

まとめ

\(\displaystyle\int_{一周} \frac{1}{z^4+1}dz\)\(=\displaystyle\int_{C_{1}} \displaystyle\frac{1}{z^4+1}dz+\displaystyle\int_{-R}^{R}\displaystyle\frac{1}{x^4+1}dx\)

これらに上の結果を代入すると

\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{x^4+1}dx=\displaystyle\frac{\pi}{\sqrt 2}\)

となり、答えが得られた。

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