複素関数問題5

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\(f(x)\)×三角関数型

\(f(x)e^{ikx}\)型を解いていきます。※指数関数で解いてあとで三角関数にする。

この経路で解いていく。指数関数で解いてあとで三角関数に戻す。

「半円経路(\(C_{1}\))」+「実軸上(C_{2})」=「一周」

\(C_{1}\)経路は0、\(C_{2}\)経路を求める、一周は留数使って計算します。

具体例でやっていきます。

問題

\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\frac{\cos x}{x^2+a^2}dx\)

解答

実軸上「\(-R\)~\(R\)」\(+\)「半円」=「一周積分」

\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\frac{e^{ix}}{x^2+a^2}dx+\displaystyle\int_{半円}\displaystyle\frac{e^{iz}}{z^2+a^2}dx=\displaystyle\int_{C}\displaystyle\frac{e^{iz}}{z^2+a^2}dx\)

変形すると

\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\frac{\cos x}{x^2+a^2}dx+\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\frac{i \sin x}{x^2+a^2}dx+\displaystyle\int_{半円}\displaystyle\frac{e^{iz}}{z^2+a^2}dx=\displaystyle\int_{C}\displaystyle\frac{e^{iz}}{z^2+a^2}dx\)

結論から言うと、左辺の第二項と第三項が\(0\)になり、右辺が複素積分で計算できることから、求めたい左辺の第一項が計算できるというわけです。

左辺第二項

\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\frac{i \sin x}{x^2+a^2}dx\)は奇関数なので\(0\)

一周積分

これは \(f(z)=\displaystyle\int_{C} \displaystyle\frac{e^{iz}}{z^2+a^2}dz \)

上半円の中に含まれている極(\(R\to\infty\)にするため上半分の極は全て経路内になる)は、 \(z=ia\) なので、この値は

\(2\pi i\times\biggl[\displaystyle\frac{e^{iz}}{(z^2+a^2)’}\biggr]_{z=ia}\)\(=2\pi i\times \displaystyle\frac{e^{-a}}{2ia}=\)\(\displaystyle\frac{\pi}{ae^a}\)

半円

これは0になることを以下に示します。

\(|f(z)|\) を上から押さえます。半円経路上では\(|z|=R\) が成り立つ。

三角不等式から

\(|z^2+a^2|\geq |z|^2-a^2=R^2-a^2\)

また、

\(|e^{iz}|=|e^{i(x+yi)}|=|e^{ix-y}|=|e^{ix}||e^{-y}|=e^{-y}\leq 1\) (\(y\geq 0\)なので)

これら二つから、次のような不等式が成立。

 \(|f(z)|=\biggl|\displaystyle\frac{e^{iz}}{z^2+a^2}\biggr|\leq \displaystyle\frac{1}{R^2-a^2}\)

よって

\(|\displaystyle\int_{半円}f(z) dz|\leq \displaystyle\int_{半円}|f(z)||dz| \leq \displaystyle\frac{\pi R}{R^2-a^2}→0\)        \((R\to\infty)\)

※\(dz=\pi R\) 半円なので

結果

\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\frac{\cos x}{x^2+a^2}dx+\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\frac{i \sin x}{x^2+a^2}dx+\displaystyle\int_{半円}\displaystyle\frac{e^{iz}}{z^2+a^2}dx=\displaystyle\int_{C}\displaystyle\frac{e^{iz}}{z^2+a^2}dx\)

にすべて代入すると

\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\frac{\cos x}{x^2+a^2}dx=\displaystyle\frac{\pi}{ae^a}\)

となり、答えが得られた。

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