複素関数問題6

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\(x^\alpha f(x)\)型

\(x^{\alpha} f(x)\)は、こんな感じの経路を取って計算します。

問題

\(\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{x^{k-1}}{x+1}dx\) (\(0<k<1\))

解答

の経路を取る。外円の半径を\(R\)、内円の半径を\(r\)とおく。(後で\(\infty\)と\(0\)に飛ばす。)

\(\displaystyle\int_{r}^{R} \displaystyle\frac{x^{k-1}}{x+1}dx+\displaystyle\int_{外円} \displaystyle\frac{z^{k-1}}{z+1}dz+\displaystyle\int_{R}^{r} \displaystyle\frac{x^{k-1}}{x+1}e^{2\pi ik}dx+\displaystyle\int_{内円} \displaystyle\frac{z^{k-1}}{z+1}dz=\displaystyle\int_{一周} \displaystyle\frac{z^{k-1}}{z+1}dz\)

※第三項は一周してきているので\(e^{2\pi ik}\)がかかっている。

第二項

\(\biggl|\displaystyle\int_{外円} \displaystyle\frac{z^{k-1}}{z+1}dz\biggr|\leq \displaystyle\int_{外円} |z^{k-2}|\biggl|\displaystyle\frac{z}{z+1}\biggr||dz|\)

\(\leq R^{k-2}\cdot 2\pi R=2\pi R^{k-1}\to 0\)  (\(R\to\infty\)、\(0<k<1\))  

第四項

\(\biggl|\displaystyle\int_{内円} \displaystyle\frac{z^{k-1}}{z+1}dz\biggr|\leq \displaystyle\int_{外円} |z^{k-1}|\biggl|\displaystyle\frac{1}{z+1}\biggr||dz|\)

\(\leq r^{k-1} \cdot 2\pi r=2\pi r^k \to 0\)  (\(r\to 0\))

右辺(一周)

経路内にある極は\(z=-1\)なので

\(\displaystyle\int_{一周} \displaystyle\frac{z^{k-1}}{z+1}dz=2\pi i Res[\displaystyle\frac{z^{k-1}}{z+1} , -1]=2\pi i(-1)^{k-1}=-2\pi i(-1)^k=-2\pi ie^{\pi ik}\)

結果

\(\displaystyle\int_{r}^{R} \displaystyle\frac{x^{k-1}}{x+1}dx+\displaystyle\int_{外円} \displaystyle\frac{z^{k-1}}{z+1}dz+\displaystyle\int_{R}^{r} \displaystyle\frac{x^{k-1}}{x+1}e^{2\pi ik}dx+\displaystyle\int_{内円} \displaystyle\frac{z^{k-1}}{z+1}dz=\displaystyle\int_{一周} \displaystyle\frac{z^{k-1}}{z+1}dz\)

を整理すると

\(\displaystyle\int_{r}^{R} \displaystyle\frac{x^{k-1}}{x+1}dx-\displaystyle\int_{r}^{R} \displaystyle\frac{x^{k-1}}{x+1}e^{2\pi ik}dx=-2\pi ie^{\pi ik}\)

\(R\to \infty\)、\(r\to 0\)で

\(\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{x^{k-1}}{x+1}(1-e^{2\pi ik})dx=-2\pi ie^{\pi ik}\)

\(\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{x^{k-1}}{x+1}dx\)\(=\displaystyle\frac{2\pi ie^{\pi ik}}{e^{2\pi ik}-1}=\pi\displaystyle\frac{2i}{e^{\pi ik}-e^{-\pi ik}}=\)\(\displaystyle\frac{\pi}{\sin \pi k}\)

が答えとなる。

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