複素積分問題6

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※複素積分の一覧はこちらの後半部分

複素関数の解説と問題の一覧ページ。問題の方は基本レベルから応用、発展まで20問ほどありますので、ぜひ挑戦してみてください。複素積分問題は複素数の性質を利用して実関数積分を解くというものです。

 

問題

\(\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{x^{k-1}}{x+1}dx\) (\(0<k<1\))

 

解答

上のような経路を取る。留数定理より以下の関係式が得られる。

 

\(\displaystyle\int_{r}^{R} \displaystyle\frac{x^{k-1}}{x+1}dx+\displaystyle\int_{外円} \displaystyle\frac{z^{k-1}}{z+1}dz+\displaystyle\int_{R}^{r} \displaystyle\frac{x^{k-1}}{x+1}e^{2\pi ik}dx+\displaystyle\int_{内円} \displaystyle\frac{z^{k-1}}{z+1}dz=2\pi i(留数和) \)

 

※第三項は積分路一周しているので\(e^{2\pi ik}\)がかかることに注意。

 

左辺第二項と第四項

結果から言うと\(R\to\infty\)、\(r\to 0\)極限で\(0\)になる。

 

第二項

\(\biggl|\displaystyle\int_{外円} \displaystyle\frac{z^{k-1}}{z+1}dz\biggr|\leq \displaystyle\int_{外円} |z^{k-2}|\biggl|\displaystyle\frac{z}{z+1}\biggr||dz|\)

 

\(\leq R^{k-2}\cdot 2\pi R=2\pi R^{k-1}\to 0\)  (\(R\to\infty\)、\(0<k<1\))  

 

第四項

\(\biggl|\displaystyle\int_{内円} \displaystyle\frac{z^{k-1}}{z+1}dz\biggr|\leq \displaystyle\int_{内円} |z^{k-1}|\biggl|\displaystyle\frac{1}{z+1}\biggr||dz|\)

 

\(\leq r^{k-1} \cdot 2\pi r=2\pi r^k \to 0\)  (\(r\to 0\))

 

右辺(一周積分)

経路内にある極は \(z=-1\) なので

 

\(2\pi i \mathrm{Res}[\displaystyle\frac{z^{k-1}}{z+1} , -1]=2\pi i(-1)^{k-1}=-2\pi i(-1)^k=-2\pi ie^{\pi ik}\)

 

結果

留数定理で\(R\to \infty\)、\(r\to 0\) 極限を取った結果を整理する。

 

\(\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{x^{k-1}}{x+1}(1-e^{2\pi ik})dx=-2\pi ie^{\pi ik}\)

 

\(\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{x^{k-1}}{x+1}dx\)\(=\displaystyle\frac{2\pi ie^{\pi ik}}{e^{2\pi ik}-1}=\pi\displaystyle\frac{2i}{e^{\pi ik}-e^{-\pi ik}}=\)\(\displaystyle\frac{\pi}{\sin \pi k}\)

が答えとなる。

 

答え

\(\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{x^{k-1}}{x+1}dx=\displaystyle\frac{\pi}{\sin \pi k}\)

 

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