複素関数問題7

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問題

\(\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{\sin^3 x}{x^3} dx\)

 

解答

\(\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{\sin^3 x}{x^3} dx=\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{3\sin x-\sin 3x}{4 x^3} dx\)

 

\(f(z)=\displaystyle\frac{3e^{iz}-e^{3iz}-2}{4 z^3}\) とおく。(\(-2\)を入れたのは後でわかる)

 

この経路で考えると

 

\(\displaystyle\int_{-\infty}^{0} \displaystyle\frac{3e^{ix}-e^{3ix}-2}{4 x^3} dx+\displaystyle\int_{内円} \displaystyle\frac{3e^{iz}-e^{3iz}-2}{4 z^3} dz\)

 

\(+\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{3e^{ix}-e^{3ix}-2}{4 x^3} dx+\displaystyle\int_{外円} \displaystyle\frac{3e^{iz}-e^{3iz}-2}{4 z^3} dz=0\) \(\cdots\) ①

 

 

第一項と第三項

\(\displaystyle\int_{-\infty}^{0} \displaystyle\frac{3e^{ix}-e^{3ix}-2}{4 x^3} dx+\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{3e^{ix}-e^{3ix}-2}{4 x^3} dx\)

 

\(=-\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{3e^{-ix}-e^{-3ix}-2}{4 x^3} dx+\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{3e^{ix}-e^{3ix}-2}{4 x^3} dx\)  

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{-2i\sin 3x+6i\sin x}{4 x^3} dx\) 

 

\(=2i\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{\sin^3 x}{x^3} dx\) 

 

第二項

\(z=re^{i\theta}\) とおいて計算する。(\(r\to 0\))

\(\displaystyle\int_{内円} \displaystyle\frac{3e^{iz}-e^{3iz}-2}{4 z^3} dz\)

 

\(=\displaystyle\int_{\pi}^{0} \displaystyle\frac{3(1+iz+\frac{(iz)^2}{2!}+\cdots)-(1+3iz+\frac{(3iz)^2}{2!}+\cdots)-2}{4 r^3 e^{3i\theta}} ire^{i\theta} d\theta\)  

 

\(=i\displaystyle\int_{\pi}^{0} \displaystyle\frac{3z^2+\cdots}{4 r^2 e^{2i\theta}} d\theta\)  ※ここでうまく消すため\(-2\)を入れた

 

\(=-i\displaystyle\int_{0}^{\pi} \displaystyle\frac{3 r^2 e^{2i\theta}}{4 r^2 e^{2i\theta}} d\theta\)  分子第2項以降はrが3次以上より、\(r\to 0\)で\(0\)に行く。

 

\(=-i\displaystyle\int_{0}^{\pi}\displaystyle\frac{3}{4}d\theta\)

 

\(=-\displaystyle\frac{3}{4}\pi i\)

 

第四項

\(z=Re^{i\theta}\) で0になることを示す。

 

\(\biggl|\displaystyle\int_{外円} \displaystyle\frac{3e^{iz}-e^{3iz}-2}{4 z^3} dz\biggr|\)

 

\(\leq \displaystyle\int_{外円}\displaystyle\frac{|3e^{iz}-e^{3iz}-2|}{|4 z^3|}|dz|\)

 

\(\leq  \displaystyle\frac{|3e^{iz}-e^{3iz}-2|}{4 R^3}\cdot \pi R\)

 

\(=0\)  ※\(R\to\infty\)

 

まとめ

以上のことを①の等式に代入すると

\(2i\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{\sin^3 x}{x^3} dx-\displaystyle\frac{3}{4}\pi i=0\) 

 

答え

\(\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{\sin^3 x}{x^3} dx=\displaystyle\frac{3}{8}\pi\)

 

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