複素積分問題8

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※複素積分の一覧はこちらの後半部分

複素関数の解説と問題の一覧ページ。問題の方は基本レベルから応用、発展まで20問ほどありますので、ぜひ挑戦してみてください。複素積分問題は複素数の性質を利用して実関数積分を解くというものです。

 

問題

\(-1\leq \alpha\leq 1\)

 

 

解答

\( f(z)=\displaystyle\frac{z^{\alpha}}{z^2+2z\cos\theta+1}\)とおき、以下の経路で積分する。

 

 

留数定理より以下の等式が導かれる。

 

\(\displaystyle\int_{r}^{R} \displaystyle\frac{x^{\alpha}}{x^2+2x\cos\theta+1}dx+\displaystyle\int_{C_{2}} \displaystyle\frac{z^{\alpha}}{z^2+2z\cos\theta+1}dz\)

 

\(+\displaystyle\int_{R}^{r} \displaystyle\frac{x^{\alpha}e^{2\pi i\alpha}}{x^2+2x\cos\theta+1}dx+\displaystyle\int_{C_{4}} \displaystyle\frac{z^{\alpha}}{z^2+2z\cos\theta+1}dz\)

 

\(=2\pi i \times(留数和)\)

 

左辺第三項は一周しているので\(e^{2\pi i\alpha}\) 倍される。

 

左辺第一項と第三項

\(R\to\infty\)、\(r\to 0\)極限で

\(\displaystyle\int_{r}^{R} \displaystyle\frac{x^{\alpha}}{x^2+2x\cos\theta+1}dx+\displaystyle\int_{R}^{r} \displaystyle\frac{x^{\alpha}e^{2\pi i\alpha}}{x^2+2x\cos\theta+1}dx\)

 

\(\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{x^{\alpha}}{x^2+2x\cos\theta+1}dx-\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{x^{\alpha}e^{2\pi i\alpha}}{x^2+2x\cos\theta+1}dx\)

 

\(=(1-e^{2\pi i\alpha})\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{x^{\alpha}}{x^2+2x\cos\theta+1}dx\)

 

左辺第二項と第四項

結果から言うと、\(R\to\infty\)、\(r\to 0\)極限でともに\(0\)になる。

 

左辺第二項

\(|z|=R\to \infty\)より\(\displaystyle\frac{1}{|z^2+2z\cos\theta+1|}\leq \displaystyle\frac{1}{kR^2}\)でおさえられる。

 

\(\biggl|\displaystyle\int_{C_{2}} \displaystyle\frac{z^{\alpha}}{z^2+2z\cos\theta+1}dz\biggr|\)

 

\(\leq \displaystyle\int_{C_{2}}\displaystyle\frac{|z^{\alpha}|}{|z^2+2z\cos\theta+1|}|dz|\leq \displaystyle\frac{R^{\alpha}}{kR^2}\times 2\pi R\)

 

\(=\displaystyle\frac{2\pi}{kR^{1-\alpha}}\to 0\) (\(1-\alpha>0\)、\(R\to\infty\))

 

左辺第四項

\(|z|=r\to 0\)より\(\displaystyle\frac{1}{|z^2+2z\cos\theta+1|}\leq \displaystyle\frac{1}{kr}\)でおさえられる。

 

\(\biggl|\displaystyle\int_{C_{4}} \displaystyle\frac{z^{\alpha}}{z^2+2z\cos\theta+1}dz\biggr|\)

 

\(\leq \displaystyle\int_{C_{4}}\displaystyle\frac{|z^{\alpha}|}{|z^2+2z\cos\theta+1|}|dz|\leq \displaystyle\frac{r^{\alpha}}{kr}\times 2\pi r\)

 

\(=\displaystyle\frac{2\pi r^{\alpha}}{k}\to 0\) (\(\alpha>0\)、\(r\to 0\))

 

右辺

\(\displaystyle\frac{z^{\alpha}}{z^2+2z\cos\theta+1}=\displaystyle\frac{z^{\alpha}}{(z+e^{i\theta})(z+e^{-i\theta})}\) より留数は

 

\(\mathrm{Res}(f(z) , -e^{i\theta})=\biggl[\displaystyle\frac{z^{\alpha}}{2z+2\cos\theta}\biggr]_{-e^{i\theta}}=-\displaystyle\frac{(-e^{i\theta})^{\alpha}}{2i\sin\theta}\)

 

\(\mathrm{Res}(f(z) , -e^{-i\theta})=\biggl[\displaystyle\frac{z^{\alpha}}{2z+2\cos\theta}\biggr]_{-e^{-i\theta}}=\displaystyle\frac{(-e^{-i\theta})^{\alpha}}{2i\sin\theta}\)

 

よって

\(右辺=2\pi i\biggl[-\displaystyle\frac{(-e^{i\theta})^{\alpha}}{2i\sin\theta}+\displaystyle\frac{(-e^{-i\theta})^{\alpha}}{2i\sin\theta}\biggr]\)

 

\(=-2\pi i(-1)^{\alpha}\cdot \displaystyle\frac{e^{i\alpha\theta}-e^{-i\alpha\theta}}{2i \sin\theta}=-\displaystyle\frac{2\pi i e^{\pi i\alpha}\sin\alpha\theta}{\sin\theta}\)

 

まとめ

\(R\to\infty\)、\(r\to 0\)極限で留数定理の式は以下のようになる。

 

\((1-e^{2\pi i\alpha})\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{x^{\alpha}}{x^2+2x\cos\theta+1}dx=-\displaystyle\frac{2\pi i e^{\pi i\alpha}\sin\alpha\theta}{\sin\theta}\)

 

よって

\(\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{x^{\alpha}}{x^2+2x\cos\theta+1}dx\)

 

\(=-\displaystyle\frac{2\pi i e^{\pi i\alpha}\sin\alpha\theta}{\sin\theta(1-e^{2\pi i\alpha})}\)

 

\(=\displaystyle\frac{\pi\sin\alpha\theta}{\sin\theta}\cdot\displaystyle\frac{2i}{e^{\pi i\alpha}-e^{\pi i\alpha}}\)

 

\(=\displaystyle\frac{\pi\sin\alpha\theta}{\sin\theta\sin\pi\alpha}\)

 

 

答え

\(\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{x^{\alpha}}{x^2+2x\cos\theta+1}dx=\displaystyle\frac{\pi\sin\alpha\theta}{\sin\theta\sin\pi\alpha}\)

 

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