ガンマ関数の無限積表示

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ガンマ関数の無限積表示

\(\displaystyle\int_{0}^{n} \biggl(1-\displaystyle\frac{t}{n}\biggr)^n t^{z-1} dt\) を計算することで無限積表示を求める。

 

ガウス公式、オイラー表示

\(\Gamma(z)=\displaystyle\frac{1}{z}\displaystyle\prod_{k=1}^{\infty} \biggl(1+\displaystyle\frac{1}{k}\biggr)^z \biggl(1+\displaystyle\frac{z}{k}\biggr)^{-1}\) 

 

\(\displaystyle\int_{0}^{n} \biggl(1-\displaystyle\frac{t}{n}\biggr)^n t^{z-1} dt\) を計算することで無限積表示を求める。

 

計算

\(\displaystyle\int_{0}^{n} \biggl(1-\displaystyle\frac{t}{n}\biggr)^n t^{z-1} dt\)

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{1} (1-x)^n n^{z-1} x^{z-1} n dx\) ※\(t=nx\)と置換。

 

\(=n^z\displaystyle\int_{0}^{1} (1-x)^n x^{z-1} dx\) ※\(n^z\)は\(x\)関係ないので外に。

 

\(=n^z B(n+1,z)\) ※\(B(p,q)=B(q,p)\)なので逆でも良い。

 

\(=n^z\displaystyle\frac{\Gamma(n+1)\Gamma(z)}{\Gamma(z+n+1)}\) 

※\(B(p,q)=\displaystyle\frac{\Gamma(p) \Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}\)

 

\(=n^z n! \displaystyle\frac{\Gamma(z)}{(z+n)(z+n-1)\cdots(z+1)z\Gamma(z)}\) 

※\(\Gamma(n+1) =  n\Gamma(n)\) と \(\Gamma(n+1) = n!\)を使った。

 

\(=n^z n!\displaystyle\prod_{k=0}^{n} \displaystyle\frac{1}{z+k}\)

 

計算結果

\(\displaystyle\int_{0}^{n} \biggl(1-\displaystyle\frac{t}{n}\biggr)^n t^{z-1} dt=n^z n!\displaystyle\prod_{k=0}^{n} \displaystyle\frac{1}{z+k}\) \(\cdots\) ①

 

左辺の極限

\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle\int_{0}^{n} \biggl(1-\displaystyle\frac{t}{n}\biggr)^n t^{z-1} dt\)

 

\(=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle\int_{0}^{n} \biggl(1-\displaystyle\frac{t}{n}\biggr)^{(-\frac{n}{t})\cdot(-t)} t^{z-1} dt\)

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{\infty} e^{-t} t^{z-1} dt\)

 

\(=\Gamma(z)\)

 

右辺の極限

\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}n^z n!\displaystyle\prod_{k=0}^{n} \displaystyle\frac{1}{z+k}\)

 

\(=\displaystyle\lim_{n\to\infty} \displaystyle\frac{1}{z} \displaystyle\prod_{k=1}^{n-1} \biggl(\displaystyle\frac{k+1}{k}\biggr)^z \displaystyle\prod_{k=1}^{n} \displaystyle\frac{k}{z+k}\) 

 

※\(\displaystyle\prod_{k=1}^{n-1} \biggl(\displaystyle\frac{k+1}{k}\biggr)^z=n^z\) 

 

\(=\displaystyle\frac{1}{z}\displaystyle\prod_{k=1}^{\infty} \biggl(1+\displaystyle\frac{1}{k}\biggr)^z \biggl(1+\displaystyle\frac{z}{k}\biggr)^{-1}\) 

 

結果(ガウス公式)

計算した極限を①の左辺だけに適用。

\(\Gamma(z)=n^z n!\displaystyle\prod_{k=0}^{n} \displaystyle\frac{1}{z+k}\)

 

結果(オイラー表示)

計算した極限を①の両辺に適用。

\(\Gamma(z)=\displaystyle\frac{1}{z}\displaystyle\prod_{k=1}^{\infty} \biggl(1+\displaystyle\frac{1}{k}\biggr)^z \biggl(1+\displaystyle\frac{z}{k}\biggr)^{-1}\) 

 

ワイエルシュトラス表示

\(\displaystyle\frac{1}{\Gamma(z)}=ze^{\gamma z}\displaystyle\prod_{k=1}^{\infty} \biggl(1+\displaystyle\frac{z}{k}\biggr) e^{-\frac{z}{k}}\)

\(\gamma=\displaystyle\lim_{n\to\infty} \biggl(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\displaystyle\frac{1}{k}-\log n\biggr)\)はオイラー定数。

 

計算

\(\displaystyle\frac{1}{\Gamma(z)}=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle\frac{\displaystyle\prod_{k=0}^{n} (z+k)}{n^z n!}\)

※オイラー表示での計算から \(\Gamma(z)=\displaystyle\lim_{n\to\infty}n^z n!\displaystyle\prod_{k=0}^{n} \displaystyle\frac{1}{z+k}\)

 

\(=\displaystyle\lim_{n\to\infty} z n^{-z} \displaystyle\prod_{k=1}^{n} \displaystyle\frac{z+k}{k}\)

 

\(=\displaystyle\lim_{n\to\infty} z n^{-z} \displaystyle\prod_{k=1}^{n} \displaystyle\frac{z+k}{k}e^{-\frac{z}{k}} \displaystyle\prod_{s=1}^{n}e^{\frac{z}{s}}\)

 

途中計算

\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}n^{-z}\displaystyle\prod_{s=1}^{n}e^{\frac{z}{s}}\)

 

\(=\displaystyle\lim_{n\to\infty}n^{-z} e^{z(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots)}\)

 

\(=\displaystyle\lim_{n\to\infty}n^{-z} e^{z(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}-\log n+\log n)}\)

 

\(=e^{\gamma z}\displaystyle\lim_{n\to\infty}n^{-z} e^{(z\log n)}\)

※\(\gamma\)はオイラー定数で \(\gamma=\displaystyle\lim_{n\to\infty} \biggl(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\displaystyle\frac{1}{k}-\log z\biggr)\)

 

\(=e^{\gamma z}\displaystyle\lim_{n\to\infty}n^{-z} n^z\)

 

\(=e^{\gamma z}\)

 

元の計算続き

\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} z n^{-z} \displaystyle\prod_{k=1}^{n} \displaystyle\frac{z+k}{k}e^{-\frac{z}{k}} \displaystyle\prod_{s=1}^{n}e^{\frac{z}{s}}\)

 

\(=ze^{\gamma z} \displaystyle\lim_{n\to\infty} \displaystyle\prod_{k=1}^{n} \displaystyle\frac{z+k}{k}e^{-\frac{z}{k}} \)

 

\(=ze^{\gamma z}\displaystyle\prod_{k=1}^{\infty} \biggl(1+\displaystyle\frac{z}{k}\biggr) e^{-\frac{z}{k}}\)

 

結果

\(\displaystyle\frac{1}{\Gamma(z)}=ze^{\gamma z}\displaystyle\prod_{k=1}^{\infty} \biggl(1+\displaystyle\frac{z}{k}\biggr) e^{-\frac{z}{k}}\)

 

 

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