iのi乗

多価関数となり一つの値には定まらない。

なので、主値として定める値を求める。

\(i^i\)を求めるにあたって、この主値を先に求める。

\(z=\log i\) とおく。変形すると　\(e^z=i\) であり、この解は

\(z=\biggl(\displaystyle\frac{1}{2}+2n\biggr)\pi i\)

これは、\(\log i=\biggl(\displaystyle\frac{1}{2}+2n\biggr)\pi i\)

ということであり、対数の答えが複素数では無限に存在する。

ここで、偏角が\(-\pi\)～\(\pi\)の時の値を主値とする。（これは一意に定まる）

つまり、主値は　\(\displaystyle\frac{\pi i}{2}\)

\(i^i=e^{i\log i}=e^{i\times \frac{\pi i}{2}}=e^{-\frac{\pi}{2}}\)

これは実数でおよそ0.2である。