iのi乗

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iのi乗

多価関数となり一つの値には定まらない。

なので、主値として定める値を求める。

 

 

\(\log i\)

\(i^i\)を求めるにあたって、この主値を先に求める。 

 

\(z=\log i\) とおく。変形すると \(e^z=i\) であり、この解は

 

\(z=\biggl(\displaystyle\frac{1}{2}+2n\biggr)\pi i\)

 

これは、\(\log i=\biggl(\displaystyle\frac{1}{2}+2n\biggr)\pi i\)

 

ということであり、対数の答えが複素数では無限に存在する。

 

ここで、偏角が\(-\pi\)~\(\pi\)の時の値を主値とする。(これは一意に定まる)

 

つまり、主値は \(\displaystyle\frac{\pi i}{2}\)

 

iのi乗

 

\(i^i=e^{i\log i}=e^{i\times \frac{\pi i}{2}}=e^{-\frac{\pi}{2}}\)

 

これは実数でおよそ0.2である。

 

 

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