iのi乗
多価関数となり一つの値には定まらない。
なので、主値として定める値を求める。
\(\log i\)
\(i^i\)を求めるにあたって、この主値を先に求める。
\(z=\log i\) とおく。変形すると \(e^z=i\) であり、この解は
\(z=\biggl(\displaystyle\frac{1}{2}+2n\biggr)\pi i\)
これは、\(\log i=\biggl(\displaystyle\frac{1}{2}+2n\biggr)\pi i\)
ということであり、対数の答えが複素数では無限に存在する。
ここで、偏角が\(-\pi\)～\(\pi\)の時の値を主値とする。（これは一意に定まる）
つまり、主値は \(\displaystyle\frac{\pi i}{2}\)
iのi乗
\(i^i=e^{i\log i}=e^{i\times \frac{\pi i}{2}}=e^{-\frac{\pi}{2}}\)
これは実数でおよそ0.2である。
