留数原理

複素解析
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留数

\(\alpha\)を\(f(z)\)の孤立特異点とする。

$$\displaystyle\int_{C}(z-\alpha)^k dz=\begin{cases} 0 & \text{$(k\neq -1)$} \\ 2\pi i & \text{$(k= -1)$} \end{cases}$$

であることを使って以下の計算をする。

\(\displaystyle\int_{C}f(z)dz=\displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty}a_{k}\displaystyle\int_{C}(z-\alpha)^k dz\)

\(=\cdots+a_{-2}\displaystyle\int_{C}\displaystyle\frac{dz}{(z-\alpha)^2} +a_{-1}\displaystyle\int_{C}\displaystyle\frac{dz}{z-\alpha}+a_{0}\displaystyle\int_{C}(z-\alpha)^0 dz+a_{1}\displaystyle\int_{C}(z-\alpha) dz+\cdots\)

\(=\cdots+0+a_{-1}\displaystyle\int_{C}\displaystyle\frac{dz}{z-\alpha} +0+0+\cdots\)

\(=2\pi i a_{-1}\)

\(-1\)次の項の係数(\(a_{-1}\))を\(f(z)\)の\(\alpha\)における留数といい、\(Res (\alpha)\)などと書く。留数さえ求まれば複素積分の値が求められる。次に留数の求め方を書いていく。

 

 留数計算方法

 \(a_{-1}\)を求める。

1位の極を持つ場合

\(\alpha\)は一位の極なので \(f(z)=\displaystyle\frac{a_{-1}}{z-\alpha}+\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} a_{k}(z-\alpha)^k\)

$$\displaystyle\lim_{z\to\alpha} (z-\alpha) f(z)=a_{-1}$$

\(f(z)=\displaystyle\frac{g(z)}{h(z)}\) とする。分子分母をテイラー展開。

\(g(z)=b_{0}+b_{1}(z-\alpha)+b_{2}(z-\alpha)^2+\cdots\)

\(h(z)=c_{1}(z-\alpha)+c_{2}(z-\alpha)^2+\cdots\)

$$a_{-1}=\displaystyle\lim_{z\to\alpha} (z-\alpha)\displaystyle\frac{g(z)}{h(z)}=\displaystyle\frac{b_{0}}{c_{1}}=\displaystyle\frac{g(\alpha)}{h^{\prime} (\alpha)}$$

\(n\)位の極を持つ場合

$$a_{-1}=\displaystyle\frac{1}{(n-1)!}\displaystyle\lim_{z\to \alpha}\biggl[\displaystyle\frac{d^{n-1}(z-\alpha)^nf(z)}{dz^{n-1}}\biggr]$$

例題

$n$位の公式は計算が大変なのでローラン展開できるときはそちらで計算すべき。

1番 

\(\displaystyle\frac{1}{z^4-1}\)の\(z=1\)での留数

\(\biggl[\displaystyle\frac{1}{(z^4-1)^{\prime}}\biggr]_{z=1}=\biggl[\displaystyle\frac{1}{4z^3}\biggr]_{z=1}=\displaystyle\frac{1}{4}\)

 

2番 

\(\displaystyle\frac{\cos z}{z^3}\)の\(z=0\)での留数

\(\displaystyle\frac{\cos z}{z^3}=\displaystyle\frac{1}{z^3}\biggl(1-\displaystyle\frac{z^2}{2!}+\displaystyle\frac{z^4}{4!}-\cdots\biggr)=\displaystyle\frac{1}{z^3}-\displaystyle\frac{1}{2!z}+\displaystyle\frac{z}{4!}-\cdots\)

留数はローラン展開の\(-1\)次の係数より\(-\displaystyle\frac{1}{2}\)

※公式を使うと \(\displaystyle\frac{1}{(3-1)!}\displaystyle\lim_{z\to 0}\displaystyle\frac{d^2}{d z^2}(\cos z)=-\displaystyle\frac{1}{2}\)

3番

\(\displaystyle\frac{e^z}{z^4}\)の\(z=0\)での留数

\(\displaystyle\frac{e^z}{z^4}=\displaystyle\frac{1}{z^4}\biggl(1+z+\displaystyle\frac{z^2}{2!}+\displaystyle\frac{z^3}{3!}+\cdots \biggr)=\displaystyle\frac{1}{z^4}+\displaystyle\frac{1}{z^3}+\displaystyle\frac{1}{2!z^2}+\displaystyle\frac{1}{3!z}+\cdots \)

留数はローラン展開の\(-1\)次の係数より\(\displaystyle\frac{1}{6}\)

※公式を使うと \(\displaystyle\frac{1}{(4-1)!}\displaystyle\lim_{z\to 0}\displaystyle\frac{d^3}{d z^3} e^z=\displaystyle\frac{1}{6}\)

 

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