\(\sqrt i\)
iのルートについて考えます。
計算その１
答え自体は複素数になるので、それを \(x+yi\) とおく。二乗すると
\((x+yi)^2=i\)
\(x^2-y^2+2xyi=i\)
実部と虚部をそれぞれ比較すると
\(x^2=y^2\)、\(2xy=1\) が出てくる。これを解くと
\(x=y=\pm\displaystyle\frac{1}{\sqrt 2}\)
よって答えは
\(\sqrt i=\pm\displaystyle\frac{1}{\sqrt 2}(1+i)\)
計算その２
\(z=\sqrt i\) として、\(z=re^{i\theta}\)とおいて、両辺二乗する。
\(r^2 e^{2i\theta}=i=e^{\frac{\pi i}{2}}\)
\(r^2=1\)、 \(e^{2i\theta}=e^{\frac{\pi i}{2}}\)がわかる。
\(r\)は正なので\(r=1\)
\(2\theta=\displaystyle\frac{\pi}{2}+2k\pi\)
\(0\leq \theta\leq 2\pi\) と取って考えると \(\theta=\displaystyle\frac{\pi}{4} , \displaystyle\frac{5}{4}\pi\)
これらを代入すると、\(\sqrt i=z=\pm\displaystyle\frac{1}{\sqrt 2}(1+i)\) となります。
答え
\(\sqrt i=\pm\displaystyle\frac{1}{\sqrt 2}(1+i)\)