[mathjax]
\(\sqrt i\)
計算その１
答え自体は複素数になるので、それを \(x+yi\) とおく。二乗すると
$$(x+yi)^2=i$$
$$x^2-y^2+2xyi=i$$
実部と虚部を比較すると\(x^2=y^2\)、\(2xy=1\) が出てくる。これを解くと
$$x=y=\pm\displaystyle\frac{1}{\sqrt 2}$$
よって答えは
$$\sqrt i=\pm\displaystyle\frac{1}{\sqrt 2}(1+i)$$
計算その２
\(z=\sqrt i\) として、\(z=re^{i\theta}\)とおいて、両辺二乗する。
\(r^2 e^{2i\theta}=i=e^{\frac{\pi i}{2}}\)
\(r^2=1\)、 \(e^{2i\theta}=e^{\frac{\pi i}{2}}\)がわかる。\(r\)は正なので\(r=1\)。
\(2\theta=\displaystyle\frac{\pi}{2}+2k\pi\)。\(0\leq \theta\leq 2\pi\)では \(\theta=\displaystyle\frac{\pi}{4} , \displaystyle\frac{5}{4}\pi\)
これらを代入すると、$\sqrt i=z=\pm\displaystyle\frac{1}{\sqrt 2}(1+i)$となります。
答え
$$\sqrt i=\pm\displaystyle\frac{1}{\sqrt 2}(1+i)$$
