√i

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\(\sqrt i\)

iのルートについて考えます。

 

 

計算その1

答え自体は複素数になるので、それを \(x+yi\) とおく。二乗すると

 

\((x+yi)^2=i\)

\(x^2-y^2+2xyi=i\)

 

実部と虚部をそれぞれ比較すると

\(x^2=y^2\)、\(2xy=1\) が出てくる。これを解くと

 

\(x=y=\pm\displaystyle\frac{1}{\sqrt 2}\)

 

よって答えは

\(\sqrt i=\pm\displaystyle\frac{1}{\sqrt 2}(1+i)\)

 

計算その2

\(z=\sqrt i\) として、\(z=re^{i\theta}\)とおいて、両辺二乗する。

 

\(r^2 e^{2i\theta}=i=e^{\frac{\pi i}{2}}\)

 

\(r^2=1\)、 \(e^{2i\theta}=e^{\frac{\pi i}{2}}\)がわかる。

 

\(r\)は正なので\(r=1\)

 

\(2\theta=\displaystyle\frac{\pi}{2}+2k\pi\)

 

\(0\leq \theta\leq 2\pi\) と取って考えると \(\theta=\displaystyle\frac{\pi}{4} , \displaystyle\frac{5}{4}\pi\)

 

これらを代入すると、\(\sqrt i=z=\pm\displaystyle\frac{1}{\sqrt 2}(1+i)\) となります。

 

答え

\(\sqrt i=\pm\displaystyle\frac{1}{\sqrt 2}(1+i)\)

 

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