√i

複素解析
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[mathjax]

 

\(\sqrt i\)

計算その1

答え自体は複素数になるので、それを \(x+yi\) とおく。二乗すると

$$(x+yi)^2=i$$

$$x^2-y^2+2xyi=i$$

実部と虚部を比較すると\(x^2=y^2\)、\(2xy=1\) が出てくる。これを解くと

$$x=y=\pm\displaystyle\frac{1}{\sqrt 2}$$

よって答えは

$$\sqrt i=\pm\displaystyle\frac{1}{\sqrt 2}(1+i)$$

計算その2

\(z=\sqrt i\) として、\(z=re^{i\theta}\)とおいて、両辺二乗する。

\(r^2 e^{2i\theta}=i=e^{\frac{\pi i}{2}}\)

\(r^2=1\)、 \(e^{2i\theta}=e^{\frac{\pi i}{2}}\)がわかる。\(r\)は正なので\(r=1\)。

\(2\theta=\displaystyle\frac{\pi}{2}+2k\pi\)。\(0\leq \theta\leq 2\pi\)では \(\theta=\displaystyle\frac{\pi}{4} , \displaystyle\frac{5}{4}\pi\)

これらを代入すると、$\sqrt i=z=\pm\displaystyle\frac{1}{\sqrt 2}(1+i)$となります。

答え

$$\sqrt i=\pm\displaystyle\frac{1}{\sqrt 2}(1+i)$$

 

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