微分方程式の基本

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微分方程式の基本事項

微分方程式の基本事項についてまとめました。

\(F( x, y , y^{\prime}, y^{\prime \prime}, \cdots , y^{(n)} ) = 0 \)　の形の方程式を微分方程式といいます。

例えば、\(y^{\prime \prime}+4y^{\prime}+9y=0\) など。たくさんあります。

「微分方程式を解く」とは\(y=\)の形を計算するということです。（\(y\)について解く。）

n階の微分方程式では任意定数をn個含んでいます。

この時の解を一般解と言います。

微分方程式を満たす具体的な値のことを特殊解と呼ぶ。

基本的には一般解に具体的な値を代入しただけのものとなっている。

一般解では表しきれない解のこと。（一般解に何を代入しても得られないが微分方程式はみたすもの）

基本用語について

例えば、二階の微分方程式とは二階微分が最高となっているということ。

（\(y^{\prime \prime}+y^{\prime}+3y=0\)）など。

\(P_{0} y^{(n)} + P_{1} y^{(n-1)} + P_{2} y^{(n-2)} + \cdots + P_{n-1} y^{(1)} + P_{n} y = Q ( P_{0} \neq 0)\)

の形となっているものを線形微分方程式といい、それ以外のものを非線形微分方程式と呼ぶ。

上の方程式において、\(Q=0\)のとき、同次方程式と呼び、そうでないとき非同次方程式と呼ぶ。

\(n\)階微分の記述方法を以下に書く。

\(y^{(n)}\)、\(\displaystyle\frac{d^n y}{dx^n}\)

（ただし、次数が低いときは\(y^{\prime}\)のように書くことが多い。）