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変数分離形
微分方程式の基本解法のひとつ、変数分離形の解き方です。
変数分離
\(y^{\prime}=f(x)g(y)\) のような形の微分方程式を解くときの方法を「変数分離」と呼んでいます。
\(y^{\prime}=f(x)g(y)\) の両辺を\(x\)で積分する。
\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dy}{dx} dx=\displaystyle\int f(x)g(y)dx\)
変形すると
\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dy}{g(y)} =\displaystyle\int f(x)dx\)
これは左辺と右辺それぞれ解けるので解くことが出来る。
上の計算から、形式的に\(y^{\prime}=\displaystyle\frac{dy}{dx}\) を分数であるかのように考えて左辺に\(x\)に関する式を、右辺に\(y\)に関する式を集めて解いても良いことがわかる。（物理などにおいて、計算するだけなら）
場合分けが必要になる場面もしばしば出てくるので注意が必要です。
例題
1番
\(y^{\prime}=xy\)
2番
\(\displaystyle\frac{dy}{dx}=-\displaystyle\frac{x}{y}\)
解答
1番
\(\displaystyle\frac{dy}{dx}=xy\)
\(y\neq 0\)のとき、変数分離して計算すると
\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dy}{y}=\displaystyle\int xdx\)
\(\log |y|=\displaystyle\frac{x^2}{2}+C\)
\(|y|=e^{(\frac{x^2}{2}+C)}\)
\(y=\pm e^{(\frac{x^2}{2}+C)}=\pm e^{C}\cdot e^{\frac{x^2}{2}}=Ae^{\frac{x^2}{2}}\) （\(A=\pm e^{C}\)（任意定数）とおいた。）
\(A=0\)で\(y=0\)となるので、\(y=0\)でも解となっている。
\(y=Ae^{\frac{x^2}{2}}\) が答え。
※問題の式に代入すると解となっていることがすぐわかる。
2番
\(\displaystyle\frac{dy}{dx}=-\displaystyle\frac{x}{y}\)
変数分離して計算すると
\(\displaystyle\int xdx=-\displaystyle\int ydy\) となる。
\(\displaystyle\frac{1}{2}x^2=-\displaystyle\frac{1}{2}y^2+C\)
両辺2倍して\(2C=A（任意定数）\) とおくと
\(x^2+y^2=A\) となるので、これは円を表す。
