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定数係数二階線形非同次微分方程式
定数係数の二階の非同次線形微分方程式とは、\(y^{\prime \prime}+ay^{\prime}+by=Q(x)\) の形をしたもの。
答えは「（同次形の解）＋（特殊解）」で表されます。
解法
\(y^{\prime \prime}+ay^{\prime}+by=Q(x)\) を考える。
答えは「（同次形の解）＋（特殊解）」で表されるので
まずは \(y^{\prime \prime}+ay^{\prime}+by=0\) の同次形の方程式を解きます。
下の記事に同次形の解き方はまとめています。
次に特殊解を求めていきます。
\(Q(x)\)が多項式のとき
\(Q(x)\)と同じ次数を仮定する。\(y=cx+d\)など。
\(Q(x)\)が指数関数のとき
\(Q(x)=Ae^{\alpha x}\) と書けるとき \(y=ce^{\alpha x}\) とおく。
\(\alpha\)が同次形の解を求める時の特性方程式の解と1つ被っていたら \(y=cx e^{\alpha x}\)
\(\alpha\)が同次形の解を求める時の特性方程式の重解となっていたら \(y=cx^2 e^{\alpha x}\)
\(Q(x)\)が三角関数のとき
\(Q(x)=a\cos mx+b\sin mx\) と書けるとき \(y=D\cos mx+E\sin mx\) とおく。
うまくいかないときは、\(y=x(D\cos mx+E\sin mx)\) などとおく。
問題
1番
\(y^{\prime \prime}-4y^{\prime}+3y=x^2+x\)
2番
\(y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2y=e^{3x}\)
3番
\(y^{\prime \prime}-4y^{\prime}+4y=\sin x\)
解答
1番
同次形の解は \(y=C_{1}e^x+C_{2}e^{3x}\) である。
特殊解を求める。右辺が二次式なので特殊解もそのようにおいて求める。
\(y=ax^2+bx+c\)とおく。代入して計算すると特殊解は以下のようになる。
\(y=\displaystyle\frac{1}{3}x^2+\displaystyle\frac{11}{9}x+\displaystyle\frac{38}{27}\)
よって、これらの和が答えとなる。
\(y=C_{1}e^x+C_{2}e^{3x}+\displaystyle\frac{1}{3}x^2+\displaystyle\frac{11}{9}x+\displaystyle\frac{38}{27}\)
2番
同次形の解は \(y=C_{1}e^{-x}+C_{2}e^{2x}\)
特殊解を計算する。右辺は指数関数なので、\(y=A e^{3x}\) とおく。
代入して計算すると特殊解は \(y=\displaystyle\frac{1}{4} e^{3x}\) となる。
よって、これらの和が答えとなる。
\(y=C_{1}e^{-x}+C_{2}e^{2x}+\displaystyle\frac{1}{4} e^{3x}\)
3番
同次形の解は \(y=(C_{1}x+C_{2})e^{2x}\)
特殊管を求める。右辺は三角関数なので \(y=a\sin x+b\cos x\) とおく。
代入して計算すると \(y=\displaystyle\frac{3}{25}\sin x+\displaystyle\frac{4}{25}\cos x\)
よって、これらの和が答えとなる。
\(y=(C_{1}x+C_{2})e^{2x}+\displaystyle\frac{3}{25}\sin x+\displaystyle\frac{4}{25}\cos x\)
