[mathjax]
クレロー型微分方程式
\(y=xp+f(p)\)の形の微分方程式（ただし、\(p=y’\)）。
解き方
両辺を微分することで解く。
\(y=xp+f(p)\)を\(x\)で微分して
\(y’=p=xp’+p+p’f'(p)\)
\(p'(x+f'(p))=0\)
一般解
任意定数がでてくるので、一般解。
\(p’=0\)を解くと \(p=定数(=cとおく)\)
元の式に代入すると答えは \(y=xc+f(c)\)
特異解
\(x+f'(p)=0\)を解く。元の微分方程式と連立して\(p\)が消去できるため、これが特異解となる。
例題
\(y’=p\)とする。
① \(y=xp+\sqrt{1+p^2}\)
② \(y=xp-\log p\)
解答
1番
両辺を\(x\)で微分する。
\(p=p+xp’+\displaystyle\frac{pp’}{\sqrt{1+p^2}}\)
\(p’\biggl(x+\displaystyle\frac{p}{\sqrt{1+p^2}}\biggr)=0\)
・一般解
\(p’=0\)から\(p=一定(=cとおく)\)つまり \(y=xc+\sqrt{1+c^2}\)
・特異解
\(x+\displaystyle\frac{p}{\sqrt{1+p^2}}=0\) つまり
\(\sqrt{1+p^2}=-\displaystyle\frac{p}{x}\) \(\cdots\) ③
元の式に代入。 \(y=px-\displaystyle\frac{p}{x}\)
\(p=\displaystyle\frac{xy}{x^2-1}\)となるが、これを③に代入して整理すると
\(x^2+y^2=1\)となる。
2番
両辺を\(x\)で微分する。
\(p=p+xp’-\displaystyle\frac{p’}{p}\)
\(p’\biggl(x-\displaystyle\frac{1}{p}\biggr)=0\)
・一般解
\(p’=0\)から\(p=一定(=cとおく)\)つまり \(y=xc-\log c\)
・特異解
\(x-\displaystyle\frac{1}{p}=0\)
\(p=\displaystyle\frac{1}{x}\)
元の式に代入すると
\(y=1-\log\displaystyle\frac{1}{x}=\log x+1\)
