微分方程式 ラプラス変換

微分方程式
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例題

$y^{\prime\prime}-4y^{\prime}+3y=e^{2t}$   ($y(0)=y^{\prime}(0)=0$)

解答

※もちろん、通常の微分方程式の解き方でも解くことが出来ます。

一般にラプラス変換で以下の式が成立します。

$\mathcal{L}[f^{n}(t)]=s^n F(s)-s^{n-1}F(0)-s^{n-2}F^{(1)}(0)-\cdots -sF^{(n-2)}(0)-F^{(n-1)}(0)$

$y=f(t)$とおき、$\mathcal{L}[f(t)]=F(s)$とおきます。ここで与えられた微分方程式をラプラス変換します。

$\mathcal{L}[f^{\prime\prime}(t)]=s^2 F(s)-sF(0)-F^{\prime}(0)=s^2 F(s)$

$\mathcal{L}[f^{\prime}(t)]=s F(s)-F(0)=s F(s)$

$\mathcal{L}[e^{2t}]=\displaystyle\frac{1}{s-2}$

これらを代入すると

$s^2F(s)-4sF(s)+3F(s)=\displaystyle\frac{1}{s-2}$

逆ラプラス変換して解を求めます。(逆ラプラス変換は覚えていないといけない)

$f(t)=\mathcal{L}^{-1}[F(s)]=\mathcal{L}^{-1}\left[\displaystyle\frac{1}{(s-1)(s-2)(s-3)}\right]$

$=\mathcal{L}^{-1}\left[\displaystyle\frac{1}{2(s-1)}-\displaystyle\frac{1}{s-2}+\displaystyle\frac{1}{2(s-3)}\right]=\displaystyle\frac{1}{2}e^t-e^{2t}+\displaystyle\frac{1}{2}e^{3t}$

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