リカッチ型 微分方程式

微分方程式
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リカッチ型 微分方程式

$y^{\prime}+Py^2+Qy+R=0$の形の微分方程式をリカッチ型微分方程式と呼ぶ。

 

ある一つの特殊解$y_{1}$を用いて$y=u+y_{1}$とおくと$u$に関する微分方程式がベルヌーイ型の微分方程式に帰着される。

 

例題

$y^{\prime}+y^2-5y+4=0$

 

解答

$y=1$は特殊解なので、$y=u+1$と置き換える。

 

$u^{\prime}=-u^2+3u$

ベルヌーイ型でもあるが、変数分離型でもあるのでそちらで解くと

 

$u=\displaystyle\frac{3Ae^{3x}}{Ae^{3x}-1}$となるので、最終的に元の答えは

 

$y=\displaystyle\frac{3Ae^{3x}}{Ae^{3x}-1}+1$

 

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