魔法陣

魔法陣とは、\(3\times 3\) （\(n\times n\)）のマス目に縦横斜め全ての和が等しくなるように\(1\)～/(n^2\)の数を配置したもの。

性質

連続する9整数の魔法陣を考える。すなわち、「\(m+1\)～\(m+9\)」とおくと

・中央の数は中央値（\(m+5\)）である。

・魔法陣は本質的には一通りしかない。

\(\displaystyle\sum_{m=1}^{9} (m+k)=9m+45\)

よって、一列の和はすべて\(3m+15\)となる。ここで、以下の恒等式が成りたつ。

\((a+e+i)+(d+e+f)+(g+e+c)=(a+d+g)+(c+f+i)+3e\)

カッコ内は魔法陣の性質より、すべて\(3m+15\)であるので、\(e=m+5\)となる。

回転したら重なるので、\(a=m+1,b=m+1\)のいずれか。

\(a=m+1\)と仮定すると、\(i=m+9\)となるので、

\(0=(c+f+i)-(a+b+c)=f+(m+9)-(m+1)-b=f-b+8\)　

よって、\(f=b+8\)であるが、残りの組で差が8になる組は作れないので矛盾。

\(b=m+1\)、\(h=m+9\)となる。

\(a+c=2m+14\)より、\(a=m+6\)、\(c=m+8\)。（対称性より逆にしても同じ。）

残りも一通りに決まる。