微分方程式4 一階線形微分方程式

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 一階線形微分方程式

 

 

一階線形微分方程式

 \(y’+P(x)y=Q(x)\)  の形のもの。 

この微分方程式において(\(=0\))とした微分方程式は変数分離で解くことが出来る。その解(\(y\))をもとの微分方程式に代入して非同次における答えを出す。

では、例題をやってみましょう。

 

例題

\(y’-\displaystyle\frac{1}{x}y=\log x\)

 

解答

同次形

まず初めに、(\(=0\))の形(同次形という)を解く。

\(y’=\displaystyle\frac{y}{x}\)   の形。これは変数分離で解ける。

(\(y\neq 0\)のとき)

\(\displaystyle\frac{dy}{dx}=\displaystyle\frac{y}{x}\)

 

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dy}{y}=\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{x}\)

 

\(\log |y|=\log |x|+C\)

 

これを解くと\(y=Ax\)  (\(A\)は任意定数)(\(y=0\)も成立)

 

非同次

ここから右辺も考えていく。

\(A\)は任意定数なのでこれを関数 \(A(x)\) とみなす。

 

\(y=A(x)x\)で、\(y’=xA'(x)+A(x)\) および \(\displaystyle\frac{y}{x}=A(x)\)という式を最初の微分方程式に代入すると

 

\(xA'(x)+A(x)-A(x)=\log x\)

 

\(A'(x)=\displaystyle\frac{\log x}{x}\) となり、この両辺を積分する。

 

\(A(x)=\displaystyle\int\displaystyle\frac{\log x}{x}dx=\displaystyle\frac{1}{2}(\log x)^2+C\)

 

答え

\(y=xA(x)=\displaystyle\frac{1}{2}x(\log x)^2+Cx\)

 

 

一般解

 

一般形についても同様に上の手順を辿ると一般解が得られる。

\(y’+P(x)y=Q(x)\)  の一般解は

 

\(y=e^{-\int P(x)dx}\biggl[\displaystyle\int\biggl(Q(x)e^{\int P(x)dx}\biggr)dx+C\biggr]\)

 

 

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