微分方程式5 ベルヌーイの微分方程式

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ベルヌーイの微分方程式

ベルヌーイ微分方程式という有名な微分方程式の形です。

 

※微分方程式全体のまとめはこちらです。

微分方程式の記事の一覧です。まとめておきました。

 

 

ベルヌーイの微分方程式

\(y’+P(x)y=Q(x)y^n\)   (\(n\neq 1\))

一階線形微分方程式の右辺に \(y^n\) が加わった形となっている。

 

右辺の\(y^n\)を消すために\(y^{-n}\)を両辺にかけて解いていく。

 

例題

\(y’-\displaystyle\frac{y}{x}=\displaystyle\frac{y^3}{x}\)

 

 

 

 

 

解答

\(y\neq 0\) のとき

\(y^3\)を消すために、\(y^{-3}\)を両辺にかける。

 

\(y’y^3-x^{-1}y^{-2}=x^{-1}\)

 

\(z=y^{-2}\) とおくと、 \(z’=-2y^{-3}y’\)より式は以下のように変形できる。

 

\(-\displaystyle\frac{z’}{2}-x^{-1}z=x^{-1}\) 

 

\(x^{2}z’+2xz=-2x\)    \(\cdots\) 整理した

 

\((x^{2}z)’=-2x\)    \(\cdots\) 左辺をうまく変形する。

 

\(\displaystyle\frac{x^2}{y^2}=-x^2+C\)      \(\cdots\)  両辺を\(x\)で積分して整理

 

\(y=\pm\displaystyle\frac{x}{\sqrt{C-x^2}}\)  (\(C\)は任意)

 

\(y=0\) のとき

上の解に含まれる。

 

答え

\(y=\pm\displaystyle\frac{x}{\sqrt{C-x^2}}\)  (\(C\)は任意)

 

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