微分方程式6 完全微分方程式

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微分方程式6 完全微分方程式

微分方程式の基本解法のひとつ、完全微分方程式の解き方です。

※微分方程式全体のまとめはこちらです。

微分方程式の記事の一覧です。まとめておきました。

用語

いろいろ出てくるのでまとめておきます。

全微分方程式 \(\cdots\)      \(P(x , y)dx+Q(x , y)dy=0\)の形の微分方程式。

積分曲線  \(\cdots\)    \(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}=P\)かつ\(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}=Q\) を満たす\(f\) のこと。

完全微分方程式   \(\cdots\)    \(f\)が存在するときの全微分方程式。

完全微分方程式

\(P(x , y)dx+Q(x , y)dy=0\)が完全微分方程式であるためには、\(P_{y}=Q_{x}\)であることが必要十分条件。(PとQは偏微分可能で偏導関数は連続という条件)

※\(P(x , y)dx+Q(x , y)dy=0\)の左辺が全微分の形になる。

\(f=C\) が一般解となる。

例題

 1番

\((2x+y^2)dx+(x^2+2y)dy=0\)

 2番

\(y’=\displaystyle\frac{x^2-y^2}{2xy}\) 

答え

1番

\(\displaystyle\frac{\partial (2x+y^2)}{\partial y}=\displaystyle\frac{\partial (x^2+2y)}{\partial x}=2x+2y\)

完全微分方程式となっている。

\(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}=2x+y^2\)  を\(x\) で積分して

\(f=x^2+y^2+C(y)\)

\(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}=x^2+2y+C'(y)=x^2+2y\)

\(C'(y)=0\) より\(C(y)=定数\) となり、\(f=x^2+y^2+定数=C\) 。

よって解は  \(x^2+y^2=C\)

2番

\(y’=\displaystyle\frac{x^2-y^2}{2xy}\) 

今回は完全微分方程式として解きます。問題を変形すると、

\(2xydy=(x^2-y^2)dx\)

\((x^2-y^2)dx-2xydy=0\)

\(\displaystyle\frac{\partial (x^2-y^2)}{\partial y}=\displaystyle\frac{\partial (-2xy)}{\partial x}=-2y\)

完全微分方程式となっている。

\(x\)で積分をすると、\(f=\displaystyle\frac{1}{3}x^3-xy^2+C(y)\) と求まる。

上と同様にすると \(C(y)=定数\)となるので答えは

\(\displaystyle\frac{1}{3}x^3-xy^2=C\)

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