微分方程式8 定数係数二階線形非同次微分方程式

微分方程式
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定数係数二階線形非同次微分方程式

タイトルがとてもごついですね笑

それは良いとして、定数係数の二階の非同次線形微分方程式とは

\(y”+ay’+by=Q(x)\) の形をしたもの。

答えは「(同次形の解)+(特殊解)」で表されます。

 

※微分方程式全体のまとめはこちらです。

https://kikyousan.com/mathmatics/differentialequation/detop

 

 

解法

\(y”+ay’+by=Q(x)\) を考える。

 

答えは「(同次形の解)+(特殊解)」で表されるので

まずは  \(y”+ay’+by=0\) の同次形の方程式を解きます。

下の記事に同次形の解き方はまとめています。

 

微分方程式7 定数係数二階線形同次微分方程式
定数係数二階線形同次微分方程式定数が係数の二階の線形微分方程式です(そのまま)。同次形なので、右辺が\(0\)です。 ※微分方程式全体のまとめはこちらです。  解法定数係数二階線形微分方程式とは\(y''+ay'+by...

 

次に特殊解を求めていきます。

 

\(Q(x)\)が多項式のとき

\(Q(x)\)と同じ次数を仮定する。\(y=cx+d\)など。

 

\(Q(x)\)が指数関数のとき

\(Q(x)=Ae^{\alpha x}\) と書けるとき \(y=ce^{\alpha x}\) とおく。

\(\alpha\)が同次形の解を求める時の特性方程式の解と1つ被っていたら \(y=cx e^{\alpha x}\) 

\(\alpha\)が同次形の解を求める時の特性方程式の重解となっていたら \(y=cx^2 e^{\alpha x}\) 

 

※チェックするのが、考えるのが面倒なら上から試していくと良いです。

 

\(Q(x)\)が三角関数のとき

\(Q(x)=a\cos mx+b\sin mx\) と書けるとき \(y=D\cos mx+E\sin mx\)  とおく。

うまくいかないときは、\(y=x(D\cos mx+E\sin mx)\)  などとおく。

 

問題

1番 

\(y”-4y’+3y=x^2+x\)

 

2番

\(y”-y’-2y=e^{3x}\)

 

3番

\(y”-4y’+4y=\sin x\)

 

 

 

 

 

解答

1番

同次形の解は \(y=C_{1}e^x+C_{2}e^{3x}\) である。

 

特殊解を求める。右辺が二次式なので特殊解もそのようにおいて求める。

\(y=ax^2+bx+c\)とおく。代入して計算すると特殊解は以下のようになる。

\(y=\displaystyle\frac{1}{3}x^2+\displaystyle\frac{11}{9}x+\displaystyle\frac{38}{27}\)

 

よって、これらの和が答えとなる。

\(y=C_{1}e^x+C_{2}e^{3x}+\displaystyle\frac{1}{3}x^2+\displaystyle\frac{11}{9}x+\displaystyle\frac{38}{27}\)

 

2番

同次形の解は \(y=C_{1}e^{-x}+C_{2}e^{2x}\)

 

特殊解を計算する。右辺は指数関数なので、\(y=A e^{3x}\) とおく。

代入して計算すると特殊解は \(y=\displaystyle\frac{1}{4} e^{3x}\) となる。

 

よって、これらの和が答えとなる。

\(y=C_{1}e^{-x}+C_{2}e^{2x}+\displaystyle\frac{1}{4} e^{3x}\)

 

3番

同次形の解は \(y=(C_{1}x+C_{2})e^{2x}\)

 

特殊管を求める。右辺は三角関数なので \(y=a\sin x+b\cos x\) とおく。

代入して計算すると \(y=\displaystyle\frac{3}{25}\sin x+\displaystyle\frac{4}{25}\cos x\) 

 

よって、これらの和が答えとなる。

\(y=(C_{1}x+C_{2})e^{2x}-\displaystyle\frac{3}{25}\sin x+\displaystyle\frac{4}{25}\cos x\) 

 

 

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