完全微分方程式

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完全微分方程式

 

完全微分方程式

全微分方程式 \(\cdots\)     \(P(x , y)dx+Q(x , y)dy=0\)の形の微分方程式

完全微分方程式 \(\cdots\)  \(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}=P\)かつ\(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}=Q\)を満たす\(f\)が存在するときの全微分方程式。

 

\(P(x , y)dx+Q(x , y)dy=0\)が完全微分方程式であるためには、$\displaystyle\frac{\partial P}{\partial y}=\displaystyle\frac{\partial Q}{\partial x}$であることが必要十分条件。(PとQは偏微分可能で偏導関数は連続という条件)

\(P(x , y)dx+Q(x , y)dy=0\)の左辺が全微分の形になり、\(f=C\) が一般解となる。

3変数の全微分方程式$Pdx+Qdy+Rdz=0$の場合は、

$\displaystyle\frac{\partial P}{\partial y}=\displaystyle\frac{\partial Q}{\partial x}$、$\displaystyle\frac{\partial Q}{\partial z}=\displaystyle\frac{\partial R}{\partial y}$、$\displaystyle\frac{\partial R}{\partial x}=\displaystyle\frac{\partial P}{\partial z}$が条件となります。

 

積分因子

$\displaystyle\frac{\partial P}{\partial y}=\displaystyle\frac{\partial Q}{\partial x}$が成立していない場合でも、うまく式(積分因子)をかけてあげることで完全微分方程式に変形することができる。

$\displaystyle\frac{P_{y}-Q_{x}}{Q}=\psi(x)$の時、$M=\mathrm{exp}\left(\displaystyle\int \psi(x) dx\right)$

$\displaystyle\frac{P_{y}-Q_{x}}{P}=\psi(y)$の時、$M=\mathrm{exp}\left(-\displaystyle\int \psi(y) dy\right)$

 

例題

問題

\(y^{\prime}=\displaystyle\frac{x^2-y^2}{2xy}\) 

 

答え

\(y^{\prime}=\displaystyle\frac{x^2-y^2}{2xy}\) 

今回は完全微分方程式として解きます。(同次形の微分方程式の解法でも解ける)問題を変形すると、

\((x^2-y^2)dx-2xydy=0\)

\(\displaystyle\frac{\partial (x^2-y^2)}{\partial y}=\displaystyle\frac{\partial (-2xy)}{\partial x}=-2y\)

完全微分方程式となっている。\(x\)で積分をすると

\(f=\displaystyle\frac{1}{3}x^3-xy^2+C(y)\) と求まる

\(C(y)=定数\)となるので答えは

\(\displaystyle\frac{1}{3}x^3-xy^2=C\) 

 

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