微分方程式9 クレロー型

微分方程式
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クレロー型微分方程式

\(y=xp+f(p)\)の形の微分方程式(ただし、\(p=y’\))。

 

解き方

両辺を微分することで解く。

\(y=xp+f(p)\)を\(x\)で微分して

\(y’=p=xp’+p+p’f'(p)\)

\(p'(x+f'(p))=0\)

 

一般解 

任意定数がでてくるので、一般解。

\(p’=0\)を解くと \(p=定数(=cとおく)\)

元の式に代入すると答えは \(y=xc+f(c)\)

 

特異解

\(x+f'(p)=0\)を解く。元の微分方程式と連立して\(p\)が消去できるため、これが特異解となる。

 

例題

\(y’=p\)とする。

① \(y=xp+\sqrt{1+p^2}\)

② \(y=xp-\log p\)

 

 

解答

1番

両辺を\(x\)で微分する。

\(p=p+xp’+\displaystyle\frac{pp’}{\sqrt{1+p^2}}\)

 

\(p’\biggl(x+\displaystyle\frac{p}{\sqrt{1+p^2}}\biggr)=0\)

 

・一般解

\(p’=0\)から\(p=一定(=cとおく)\)つまり \(y=xc+\sqrt{1+c^2}\)

 

・特異解

\(x+\displaystyle\frac{p}{\sqrt{1+p^2}}=0\) つまり

\(\sqrt{1+p^2}=-\displaystyle\frac{p}{x}\) \(\cdots\) ③ 

元の式に代入。 \(y=px-\displaystyle\frac{p}{x}\)

\(p=\displaystyle\frac{xy}{x^2-1}\)となるが、これを③に代入して整理すると

\(x^2+y^2=1\)となる。

 

2番

両辺を\(x\)で微分する。

\(p=p+xp’-\displaystyle\frac{p’}{p}\)

 

\(p’\biggl(x-\displaystyle\frac{1}{p}\biggr)=0\)

 

・一般解

\(p’=0\)から\(p=一定(=cとおく)\)つまり \(y=xc-\log c\)

 

・特異解

\(x-\displaystyle\frac{1}{p}=0\)

\(p=\displaystyle\frac{1}{x}\)

元の式に代入すると

\(y=1-\log\displaystyle\frac{1}{x}=\log x+1\)

 

 

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