三乗根のある二重根号　外し方

[mathjax]

問題

$\sqrt[3]{20+14\sqrt{2}}$

通常の二重根号の外し方は教科書に載っているが、今回は三乗根を含むものを考える。

根号の中に$\sqrt{2}$があるので、解が$a+b\sqrt{2}$であると仮定する。

$\sqrt[3]{20+14\sqrt{2}}=a+b\sqrt{2}$

両辺を3乗して整理すると

$20+14\sqrt{2}=a^3+6ab^2+\sqrt{2}(3a^2b+2b^3)$　　

ここから以下の二つの等式が出てくる。

$\begin{cases} a^3+6ab^2=20 \\ 3a^2b+2b^3=14 \end{cases}$　　②

これを解けばいいわけですが、そのままではなかなかうまくいきません。定数項を削除してみると

$7a^3-30a^2b+42ab^2-20b^3=0$

因数分解すると（因数定理を利用すると$(a-2b)$を因数に持つことは分かる。）

$(a-2b)(7a^2-16ab+10b^2)=0$

後ろの二次式は判別式が負なので解にはならない。よって$a=2b$

②のどちらかの式に代入すると、$a=2$、$b=1$であることが分かる。すなわち

$\sqrt[3]{20+14\sqrt{2}}=2+\sqrt{2}$

$\sqrt[3]{20+14\sqrt{2}}=x$とおく。これを展開して整理すると

$x^6-40x^3+8=0$　

これを因数分解していきたい（最終的には解きたい）わけですが、なかなか厳しそうです。因数定理で試してみるとうまくいかないことから一次式は持たないことが分かります。

「二次×四次」になると予想して気合いで因数分解すると（係数を変数において、両辺の等号を結ぶ形で解くと）

$(x^2-4x+2)(x^4+4x^3+14x^2+8x+4)=0$　となる。

後ろの四次式は$(x^2+2x)^2+6x^2+4(x+1)^2\geq 0$であるので、解にはならない。

よって$x^2-4x+2=0$を解くと、$x=2\pm \sqrt{2}$である。

実際に三乗してみると、$x=2+ \sqrt{2}$　が解であることが分かる。