問題
\(\sqrt[3]{20+14\sqrt{2}}\)
通常の二重根号の外し方は教科書に載っているが、今回は三乗根を含むものです。
解答1
根号の中に\(\sqrt{2}\)があるので、解が\(a+b\sqrt{2}\)であると仮定する。
\(\sqrt[3]{20+14\sqrt{2}}=a+b\sqrt{2}\)
両辺を3乗して整理すると
\(20+14\sqrt{2}=a^3+6ab^2+\sqrt{2}(3a^2b+2b^3)\)
$$\Rightarrow\begin{cases} a^3+6ab^2=20 \\ 3a^2b+2b^3=14 \end{cases} \cdots ①$$
これを解くのですが、そのままではうまくいかない。定数項を削除してみると
\(7a^3-30a^2b+42ab^2-20b^3=0\)
因数定理を利用すると$(a-2b)$を因数に持つことは分かるので因数分解すると
\((a-2b)(7a^2-16ab+10b^2)=0\)
後ろの二次式は判別式が負なので解にはならないので$a=2b$
①のどちらかの式に代入すると、\(a=2\)、\(b=1\)であることが分かる。すなわち
\(\sqrt[3]{20+14\sqrt{2}}=2+\sqrt{2}\)
解答2
\(\sqrt[3]{20+14\sqrt{2}}=x\)とおき、展開して整理すると
\(x^6-40x^3+8=0\)
因数定理より、左辺は一次式を持たない。「二次×四次」になると予想して因数分解すると
\((x^2-4x+2)(x^4+4x^3+14x^2+8x+4)=0\) となる。
後ろの四次式は\((x^2+2x)^2+6x^2+4(x+1)^2> 0\)であるので、解にはならない。
よって\(x^2-4x+2=0\)を解くと、\(x=2\pm \sqrt{2}\)である。
実際に三乗してみると、\(x=2+ \sqrt{2}\) が解であることが分かる。
\(\sqrt[3]{20+14\sqrt{2}}=2+\sqrt{2}\)
