コーシーシュワルツの不等式とは
\({\displaystyle(\sum_{k=1}^n a_k^2)}{\displaystyle(\sum_{k=1}^n b_k^2)}\geq{\displaystyle(\sum_{k=1}^n a_kb_k)^2}\)
\(\displaystyle\frac{a_{k}}{b_{k}}\) が一定の時等号成立。
この形では知らなくても
\( (a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)\geq(a_1b_1+a_2b_2)^2\)
こちらの形なら見たことあるって人もいるかもしれません。上の式はこれの一般化です。
証明
証明は知らないと厳しいです。突然ですが、
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(a_{k}t-b_{k})^2 \geq 0\)
は任意のtで成立。展開すると、
\(\biggl(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{a_{k}}^2\biggr) t^2-2t\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{k}b_{k}+\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{b_{k}}^2 \geq 0\)
・\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{a_{k}}^2 \neq 0\) の時。
任意のtに対して成立するので判別式D≦０が条件。
\(\displaystyle\frac{D}{4}={\displaystyle(\sum_{k=1}^n a_kb_k)^2}-{\displaystyle(\sum_{k=1}^n a_k^2)}{\displaystyle(\sum_{k=1}^n b_k^2)} \leq 0\)
これはコーシーシュワルツの不等式である。
・ \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{a_{k}}^2 =0\) の時。
\( a_{1} 、a_{2} 、 \cdots a_{n} \) はすべて0。
よって不等式は成立。
例題
\( (a,b)\) を単位円上の点とするとき\(3a+b\)の最大値、最小値はいくらか。
解答
コーシーシュワルツの不等式より \((a^2+b^2)(3^2+1^2) \geq (3a+b)^2\)
また、\( (a,b)\) は単位円上なので \(a^2+b^2=1\)
二式から、\((3a+b)^2\leq 10\) がわかる。つまり
\(-\sqrt{10}\leq 3a+b\leq \sqrt{10}\)
最大値は、\(\sqrt10\)。最小値は、\(-\sqrt10\)。
以下の問題もコーシーシュワルツ不等式で解けます。
