コーシーシュワルツの不等式

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コーシーシュワルツの不等式とは

\({\displaystyle(\sum_{k=1}^n a_k^2)}{\displaystyle(\sum_{k=1}^n b_k^2)}\geq{\displaystyle(\sum_{k=1}^n a_kb_k)^2}\)

\(\displaystyle\frac{a_{k}}{b_{k}}\)  が一定の時等号成立。

 

この形では知らなくても

\( (a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)\geq(a_1b_1+a_2b_2)^2\)

 こちらの形なら見たことあるって人もいるかもしれません。上の式はこれの一般化です。

 

証明

証明は知らないと厳しいです。突然ですが、

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(a_{k}t-b_{k})^2 \geq 0\)

は任意のtで成立。展開すると、

 \(\biggl(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{a_{k}}^2\biggr) t^2-2t\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{k}b_{k}+\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{b_{k}}^2 \geq 0\)

 

・\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{a_{k}}^2 \neq 0\) の時。

任意のtに対して成立するので判別式D≦0が条件。

\(\displaystyle\frac{D}{4}={\displaystyle(\sum_{k=1}^n a_kb_k)^2}-{\displaystyle(\sum_{k=1}^n a_k^2)}{\displaystyle(\sum_{k=1}^n b_k^2)} \leq 0\)

これはコーシーシュワルツの不等式である。

 

・ \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{a_{k}}^2 =0\) の時。

\( a_{1} 、a_{2} 、 \cdots  a_{n} \) はすべて0。

よって不等式は成立。

 

例題

 \( (a,b)\)  を単位円上の点とするとき\(3a+b\)の最大値、最小値はいくらか。

 

解答

コーシーシュワルツの不等式より \((a^2+b^2)(3^2+1^2) \geq (3a+b)^2\)

 

また、\( (a,b)\)  は単位円上なので \(a^2+b^2=1\) 

 

二式から、\((3a+b)^2\leq 10\) がわかる。つまり

 

\(-\sqrt{10}\leq 3a+b\leq \sqrt{10}\)

 

最大値は、\(\sqrt10\)。最小値は、\(-\sqrt10\)。

 

以下の問題もコーシーシュワルツ不等式で解けます。

 

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