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コーシーシュワルツの不等式とは
\({\displaystyle(\sum_{k=1}^n a_k^2)}{\displaystyle(\sum_{k=1}^n b_k^2)}\geq{\displaystyle(\sum_{k=1}^n a_kb_k)^2}\)
等号成立は、\(\displaystyle\frac{a_{k}}{b_{k}}=一定\) のとき
この形では知らなくても
\( (a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)\geq(a_1b_1+a_2b_2)^2\)
こちらの形なら見たことあるって人もいるかもしれません。上の式はこれの一般化です。
証明
証明は知らないと厳しいです。突然ですが、
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(a_{k}t-b_{k})^2 \geq 0\)
は任意の\(t\)で成立。展開すると、
\(\biggl(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{a_{k}}^2\biggr) t^2-2t\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{k}b_{k}+\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{b_{k}}^2 \geq 0\)
① \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{a_{k}}^2 \neq 0\) の時。
任意の\(t\)に対して成立するので判別式\(D\leqq 0\)が条件。
\(\displaystyle\frac{D}{4}={\displaystyle(\sum_{k=1}^n a_kb_k)^2}-{\displaystyle(\sum_{k=1}^n a_k^2)}{\displaystyle(\sum_{k=1}^n b_k^2)} \leq 0\)
これはコーシーシュワルツの不等式である。
② \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{a_{k}}^2 =0\) の時。
\( a_{1} 、a_{2} 、 \cdots a_{n} \) はすべて\(0\)。
よって不等式は成立する。
例題
問題
① \( (a,b)\) を単位円上の点とするとき\(3a+b\)の最大値、最小値はいくらか。
② \(a,b,c\)を単位球面上の点とする。\((a+3b+6c)^2 \leq 46\)を示せ。
解答
①
コーシーシュワルツの不等式より \((a^2+b^2)(3^2+1^2) \geq (3a+b)^2\)
また、\( (a,b)\) は単位円上なので \(a^2+b^2=1\)
二式から、\((3a+b)^2\leq 10\)がわかる。つまり
\(-\sqrt{10}\leq 3a+b\leq \sqrt{10}\)
最大値は、\(\sqrt10\)。最小値は、\(-\sqrt10\)。
②
コーシーシュワルツの不等式より \((a^2+b^2+c^2)(1^2+3^2+6^2) \geq (a+3b+6c)^2\)
また、\((a,b,c)\) は単位球面上の点なので \(a^2+b^2+c^2=1\)
二式から \((a+3b+6c)^2\leq 46\)がわかる。
