コーシーシュワルツの不等式

 

目次

不等式

$$\left(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_{k}^2\right)\left(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} b_{k}^2\right)\geq \left(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_{k}b_{k}\right)^2$$

等号成立は、$\displaystyle\frac{a_{k}}{b_{k}}=一定$で,$n=2$のときの方程式は有名.

$$(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)\geq(a_1b_1+a_2b_2)^2$$

 

証明

次の式は任意の$t$で成立.

$$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(a_{k}t-b_{k})^2 \geq 0$$

展開すると,

$$\biggl(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{a_{k}}^2\biggr) t^2-2t\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{k}b_{k}+\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{b_{k}}^2 \geq 0$$

 

① \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{a_{k}}^2 \neq 0\) のとき

任意の\(t\)に対して成立するので判別式\(D\leqq 0\)が条件.

$$\displaystyle\frac{D}{4}={\displaystyle(\sum_{k=1}^n a_kb_k)^2}-{\displaystyle(\sum_{k=1}^n a_k^2)}{\displaystyle(\sum_{k=1}^n b_k^2)} \leqq 0$$

$$\left(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_{k}^2\right)\left(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} b_{k}^2\right)\geq \left(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_{k}b_{k}\right)^2$$

 

② \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{a_{k}}^2 =0\) のとき

$a_{1}, a_{2}, \cdots  a_{n}$はすべて$0$なので不等式は成立する.

 

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