コーシーシュワルツの不等式

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コーシーシュワルツの不等式とは

$$\left(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_{k}^2\right)\left(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} b_{k}^2\right)\geq \left(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_{k}b_{k}\right)^2$$

等号成立は、$\displaystyle\frac{a_{k}}{b_{k}}=一定$ のとき。

$n=2$のときの方程式は有名です。

$$(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)\geq(a_1b_1+a_2b_2)^2$$

 

証明

次の式は任意の$t$で成立。

$$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(a_{k}t-b_{k})^2 \geq 0$$

展開すると、

$$\biggl(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{a_{k}}^2\biggr) t^2-2t\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{k}b_{k}+\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{b_{k}}^2 \geq 0$$

 

① \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{a_{k}}^2 \neq 0\) のとき

任意の\(t\)に対して成立するので判別式\(D\leqq 0\)が条件。

$$\displaystyle\frac{D}{4}={\displaystyle(\sum_{k=1}^n a_kb_k)^2}-{\displaystyle(\sum_{k=1}^n a_k^2)}{\displaystyle(\sum_{k=1}^n b_k^2)} \leqq 0$$

$$\left(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_{k}^2\right)\left(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} b_{k}^2\right)\geq \left(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_{k}b_{k}\right)^2$$

 

② \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{a_{k}}^2 =0\) のとき

$a_{1} 、a_{2} 、 \cdots  a_{n}$はすべて$0$なので不等式は成立する。

 

例題

問題

1番

\( (a,b)\)  を単位円上の点とするとき\(3a+b\)の最大値、最小値はいくらか。

2番

\(a,b,c\)を単位球面上の点とする。\((a+3b+6c)^2 \leq 46\)を示せ。

 

解答

1番

コーシーシュワルツの不等式より 

$$(a^2+b^2)(3^2+1^2) \geq (3a+b)^2$$

 

$(a,b)$は単位円上なので、$a^2+b^2=1$が成り立ち

$$(3a+b)^2\leq 10 \Rightarrow -\sqrt{10}\leq 3a+b\leq \sqrt{10}$$

 

最大値は、$\sqrt10$、最小値は、$-\sqrt10$

2番

コーシーシュワルツの不等式より \((a^2+b^2+c^2)(1^2+3^2+6^2) \geq (a+3b+6c)^2\)

また、\((a,b,c)\)  は単位球面上の点なので \(a^2+b^2+c^2=1\) 

二式から \((a+3b+6c)^2\leq 46\)がわかる。

 

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