コーシーシュワルツの不等式

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コーシーシュワルツの不等式とは

\({\displaystyle(\sum_{k=1}^n a_k^2)}{\displaystyle(\sum_{k=1}^n b_k^2)}\geq{\displaystyle(\sum_{k=1}^n a_kb_k)^2}\)

等号成立は、\(\displaystyle\frac{a_{k}}{b_{k}}=一定\)  のとき

 

この形では知らなくても

\( (a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)\geq(a_1b_1+a_2b_2)^2\)

 こちらの形なら見たことあるって人もいるかもしれません。上の式はこれの一般化です。

 

証明

証明は知らないと厳しいです。突然ですが、

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(a_{k}t-b_{k})^2 \geq 0\)

は任意の\(t\)で成立。展開すると、

 \(\biggl(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{a_{k}}^2\biggr) t^2-2t\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{k}b_{k}+\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{b_{k}}^2 \geq 0\)

 

① \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{a_{k}}^2 \neq 0\) の時。

任意の\(t\)に対して成立するので判別式\(D\leqq 0\)が条件。

\(\displaystyle\frac{D}{4}={\displaystyle(\sum_{k=1}^n a_kb_k)^2}-{\displaystyle(\sum_{k=1}^n a_k^2)}{\displaystyle(\sum_{k=1}^n b_k^2)} \leq 0\)

これはコーシーシュワルツの不等式である。

 

② \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{a_{k}}^2 =0\) の時。

\( a_{1} 、a_{2} 、 \cdots  a_{n} \) はすべて\(0\)。

よって不等式は成立する。

 

例題

 

問題

①  \( (a,b)\)  を単位円上の点とするとき\(3a+b\)の最大値、最小値はいくらか。

② \(a,b,c\)を単位球面上の点とする。\((a+3b+6c)^2 \leq 46\)を示せ。

 

解答

コーシーシュワルツの不等式より \((a^2+b^2)(3^2+1^2) \geq (3a+b)^2\)

 

また、\( (a,b)\)  は単位円上なので \(a^2+b^2=1\) 

 

二式から、\((3a+b)^2\leq 10\)がわかる。つまり

 

\(-\sqrt{10}\leq 3a+b\leq \sqrt{10}\)

 

最大値は、\(\sqrt10\)。最小値は、\(-\sqrt10\)。

 

コーシーシュワルツの不等式より \((a^2+b^2+c^2)(1^2+3^2+6^2) \geq (a+3b+6c)^2\)

 

また、\((a,b,c)\)  は単位球面上の点なので \(a^2+b^2+c^2=1\) 

 

二式から \((a+3b+6c)^2\leq 46\)がわかる。

 

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