二項定理に関する等式

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二項定理に関する等式

二項定理から得られる有名な等式です。二項定理は以下の等式。

 

\( (a+b)^n=_{n}C_{0}a^n+_{n}C_{1}a^{n-1}b+_{n}C_{2}a^{n-2}b^2\cdots +_{n}C_{n}b^n\)

 

 

 

以下の三記事も二項係数に関する問題です。

数学問題54番
数学問題54番です。

 

数学問題53番
数学問題の53番です。

 

数学問題52番
数学問題52番です。

 

1つ目

上の二項定理において \(a=b=1\) を代入すると

 

\(\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \)\(_{n}\mathrm{C}_{k}=_{n}\mathrm{C}_{0}+_{n}\mathrm{C}_{1}+\cdots +_{n}\mathrm{C}_{n}=2^n\)

 

 

2つ目

上の二項定理において \(a=1 , b=-1\) を代入すると

 

\(\displaystyle\sum_{k=0}^{n} (-1)^{k} _{n}\mathrm{C}_{k}=_{n}\mathrm{C}_{0}-_{n}\mathrm{C}_{1}+_{n}\mathrm{C}_{2}-\cdots +(-1)^n_{n}\mathrm{C}_{n}=0\)

 

 

3つ目

\(\displaystyle\sum_{k=0}^{n}   _{n}\mathrm{C}_{k}=_{n}\mathrm{C}_{0}^2+_{n}\mathrm{C}_{1}^2+_{n}\mathrm{C}_{2}^2+\cdots+_{n}\mathrm{C}_{n}^2=_{2n}\mathrm{C}_{n}^2\)

 

\((x+1)^n(1+x)^n=(x+1)^{2n}\) という等式を利用する。 \(x^n\)の項を比較する。

 

左辺

\((_{n}\mathrm{C}_{0}x^n+_{n}\mathrm{C}_{1}x^{n-1}+_{n}\mathrm{C}_{2}x^{n-2}+\cdots +_{n}\mathrm{C}_{n})(_{n}\mathrm{C}_{0}+_{n}\mathrm{C}_{1}x+_{n}\mathrm{C}_{2}x^2\cdots +_{n}\mathrm{C}_{n}x^n)\)

 

ここで\(x^n\)の項の係数は \((_{n}\mathrm{C}_{0})^2+(_{n}\mathrm{C}_{1})^2+(_{n}\mathrm{C}_{2})^2+\cdots+(_{n}\mathrm{C}_{n})^2\)

 

右辺

\(x^n\)の項は二項定理より\(_{2n}\mathrm{C}_{n}\)

 

まとめ

これらより上の等式が成立。

 \( _{n}\mathrm{C}_{0}^2+_{n}\mathrm{C}_{1}^2+_{n}\mathrm{C}_{2}^2+\cdots +_{n}\mathrm{C}_{n}^2=_{2n}\mathrm{C}_{n}\)

 

4つ目

微分や積分することで得られる等式もある。

 

\((1+x)^n= _{n}\mathrm{C}_{0}+_{n}\mathrm{C}_{1}x+_{n}\mathrm{C}_{2}x^2\cdots +_{n}\mathrm{C}_{n}x^n\)

 

両辺を微分する。

 

\(n(1+x)^{n-1}= _{n}\mathrm{C}_{1}+2_{n}\mathrm{C}_{2}x+\cdots +n_{n}\mathrm{C}_{n}x^{n-1}\)

 

\(x=1\)とすると

\(n\cdot 2^{n-1}= _{n}\mathrm{C}_{1}+2_{n}\mathrm{C}_{2}+3_{n}\mathrm{C}_{3}+\cdots +n_{n}\mathrm{C}_{n}\)

という式が得られる。

 

 

 

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