部分分数分解
分母が多項式の積の形になっているときに、それらを複数の分数に分解できる。
$$\displaystyle\frac{1}{x^2-3x}=\displaystyle\frac{1}{x(x-3)}=\displaystyle\frac{1}{3}\left(\displaystyle\frac{1}{x-3}-\displaystyle\frac{1}{x}\right)$$
高校で習いますが、積分を解くときにも使います。高校入試でもこれを使える問題が出ます。
例1
$\displaystyle\frac{2}{15}+\displaystyle\frac{2}{35}+\displaystyle\frac{2}{63}+\displaystyle\frac{2}{99}$
$=\displaystyle\frac{5-3}{3\times 5}+\displaystyle\frac{7-5}{5\times 7}+\displaystyle\frac{9-7}{7\times 9}+\displaystyle\frac{11-9}{9\times 11}$
$=\displaystyle\frac{5}{3\times 5}-\displaystyle\frac{3}{3\times 5}+\displaystyle\frac{7}{5\times 7}-\displaystyle\frac{7}{5\times 7}+\displaystyle\frac{9}{7\times 9}-\displaystyle\frac{7}{7\times 9}+\displaystyle\frac{11}{9\times 11}-\displaystyle\frac{9}{9\times 11}$
$=\displaystyle\frac{1}{3}-\displaystyle\frac{1}{5}+\displaystyle\frac{1}{5}-\displaystyle\frac{1}{7}+\displaystyle\frac{1}{7}-\displaystyle\frac{1}{9}+\displaystyle\frac{1}{9}-\displaystyle\frac{1}{11}$
$=\displaystyle\frac{1}{3}-\displaystyle\frac{1}{11}=\displaystyle\frac{8}{33}$
例2
$\displaystyle\frac{x^2+2}{x^3+1}=\displaystyle\frac{x^2+2}{(x+1)(x^2-x+1)}=\displaystyle\frac{a}{x+1}+\displaystyle\frac{bx+c}{x^2-x+1}$
とおく。分母を払うと
$x^2+2=a(x^2-x+1)+(bx+c)(x+1)=(a+b)x^2+(b+c-a)x+a+c$
この恒等式を解く。$a+b=1$、$b+c-a=0$、$a+c=2$
これを解くと、$a=1,b=0,c=1$となる。つまり、部分分数分解の結果は
$$\displaystyle\frac{x^2+2}{x^3+1}=\displaystyle\frac{1}{x+1}+\displaystyle\frac{1}{x^2-x+1}$$
複雑な部分分数分解にはヘビサイドの目隠し法が有効です。
