部分分数分解

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部分分数分解

分母が多項式の積の形になっているときに、それらを複数の分数に分解できる。

例を見たほうが分かりやすいと思うので、書きます。

 

$\displaystyle\frac{1}{x^2-3x}=\displaystyle\frac{1}{x(x-3)}=\displaystyle\frac{1}{3}\left(\displaystyle\frac{1}{x-3}-\displaystyle\frac{1}{x}\right)$

 

こんな感じです。高校で習いますが、積分を解くときにもよく使います。また、高校入試でも時々これを使える問題が出てきています。

 

 

 

例1

$\displaystyle\frac{2}{15}+\displaystyle\frac{2}{35}+\displaystyle\frac{2}{63}+\displaystyle\frac{2}{99}$

 

解答1

$\displaystyle\frac{2}{15}+\displaystyle\frac{2}{35}+\displaystyle\frac{2}{63}+\displaystyle\frac{2}{99}$

 

$=\displaystyle\frac{5-3}{3\times 5}+\displaystyle\frac{7-5}{5\times 7}+\displaystyle\frac{9-7}{7\times 9}+\displaystyle\frac{11-9}{9\times 11}$

 

$=\displaystyle\frac{5}{3\times 5}-\displaystyle\frac{3}{3\times 5}+\displaystyle\frac{7}{5\times 7}-\displaystyle\frac{7}{5\times 7}+\displaystyle\frac{9}{7\times 9}-\displaystyle\frac{7}{7\times 9}+\displaystyle\frac{11}{9\times 11}-\displaystyle\frac{9}{9\times 11}$

 

$=\displaystyle\frac{1}{3}-\displaystyle\frac{1}{5}+\displaystyle\frac{1}{5}-\displaystyle\frac{1}{7}+\displaystyle\frac{1}{7}-\displaystyle\frac{1}{9}+\displaystyle\frac{1}{9}-\displaystyle\frac{1}{11}$

 

$=\displaystyle\frac{1}{3}-\displaystyle\frac{1}{11}=\displaystyle\frac{8}{33}$

 

※高校入試で見られるのはこういう問題です。そのまま計算してもできますが、知っていると早く解けます。

 

例2

$\displaystyle\frac{x^2+2}{x^3+1}$

 

解答2

$\displaystyle\frac{x^2+2}{x^3+1}=\displaystyle\frac{x^2+2}{(x+1)(x^2-x+1)}=\displaystyle\frac{a}{x+1}+\displaystyle\frac{bx+c}{x^2-x+1}$

 

とおく。分母を払うと

$x^2+2=a(x^2-x+1)+(bx+c)(x+1)=(a+b)x^2+(b+c-a)x+a+c$

 

この恒等式を解く。

$a+b=1$、$b+c-a=0$、$a+c=2$

 

これを解くと、$a=1,b=0,c=1$となる。つまり、部分分数分解の結果は

 

$\displaystyle\frac{x^2+2}{x^3+1}=\displaystyle\frac{1}{x+1}+\displaystyle\frac{1}{x^2-x+1}$

 

複雑な部分分数分解にはヘビサイドの目隠し法というものがあります!

 

ヘビサイドの目隠し法
部分分数分解の係数を決める方法の1つです。例題で見てみるのが分かりやすいのでやってみましょう。例題1\(\displaystyle\frac{1}{(1-x^2)^2}\) を部分分数分解する。 ※難問積分で時々出てくる部分分数分...

 

 

 

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