$1+1=2$
準備
公理（ペアノの公理）から導かれることを確認するといった形です。
ペアノの公理
①自然数$0$が存在
②任意の自然数$a$の後者が存在（$\mathrm{suc}(a)$と書くことにする）
③$0$はどんな自然数の後者でもない
④異なる自然数は異なる後者を持つ
⑤0がある性質を満たす、$a$も満たせば$\mathrm{suc}(a)$も満たす⇒すべての自然数で満たす
加法定義
① $a+0=a$
② $a+\mathrm{suc}(b)=\mathrm{suc}(a+b)$
証明
加法定義の②に$a=\mathrm{suc}(0),b=0$を代入すると
$\mathrm{suc}(0)+\mathrm{suc}(0)=\mathrm{suc}(\mathrm{suc}(0)+0)=\mathrm{suc}(\mathrm{suc}(0))$
$\mathrm{suc}(0)=1,\mathrm{suc}(\mathrm{suc}(0))=2$と定義すると、$1+1=2$となります。
