三平方の定理

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三平方の定理

三平方の定理とは、直角三角形において斜辺を$c$、それ以外の辺を$a,b$と置いたときに

$a^2+b^2=c^2$

となる関係式のことをいいます。

「ピタゴラスの定理」とも呼ばれるが、ピタゴラスが発見したのかどうかは定かではないらしい笑

 

簡潔でかなり有名な等式です!

また、一般の指数$n$に対して同様に考えた場合はどうなるのか?という問題がかの有名な「フェルマーの最終定理」というものです。(正確には$n\geq 3$の時、$a^n+b^n=c^n$を満たす解はないというもの。)※ワイルズによって証明されています。

角度を一般化すると余弦定理というものになります。

 

証明

証明は数多くのものがありますが、有名なものを紹介します。

 

 

両方とも正方形として上のような図を考える。小さな正方形の一辺を$c$としておく。

 

① 大きな正方形の面積$=(a+b)^2$

② 小さな正方形の面積$=c^2$

③ 4つの三角形の合計面積$=2ab$

 

「①=②+③」なので、$=(a+b)^2=c^2+2ab$となり、これを整理すると

 

$a^2+b^2=c^2$となって三平方の定理が導かれた。

 

 

 

有名な三角形

$a=3,b=4,c=5$

$a=5,b=12,c=13$

$a=6,b=8,c=10$

$a=8,b=15,c=17$

$a=7,b=24,c=25$

あたりがよく出てくる有名な三角形です。※三平方の式を満たす組$(a,b,c)$をピタゴラス数といいます。

 

一般解

一般的な形は以下の記事で書きました。

三平方の定理の一般解
三平方の定理の一般解題名の通りの話です。 三平方の定理(ピタゴラスの定理)を満たす自然数の一般解を求めていきます。\(x^2+y^2=z^2\) 方法1以下の有名等式を利用します。 \((ad-bc)^2+(ac+bd)^2=(a^2+b^

 

 

余弦定理

余弦定理と三平方の定理の関係性です。

 

\(\theta=\displaystyle\frac{\pi}{2}\)の時

\(\theta=\displaystyle\frac{\pi}{2}\) のとき、\(\cos \theta=0\) となる。

 

このとき、余弦定理は\(a^2=b^2+c^2\)となるが、これは三平方の定理そのものである。

余弦定理は三平方の定理の一般化とわかる。

 

\(\theta\) が鋭角の時

\(\cos \theta>0\) なので \(a^2=b^2+c^2-2bc\cos \theta<b^2+c^2\) 。

 

つまり、\(\theta\)が鋭角の時に\(a^2<b^2+c^2\) という関係が成立するのは余弦定理に起因する。

 

\(\theta\) が鈍角の時

\(\cos \theta<0\) なので \(a^2=b^2+c^2-2bc\cos \theta>b^2+c^2\) 。

 

つまり、\(\theta\)が鈍角の時に \(a^2>b^2+c^2\) という関係が成立するのは余弦定理に起因する。

 

 

 

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