三平方の定理

三平方の定理とは、直角三角形において斜辺を$c$、それ以外の辺を$a,b$と置いたときに

$a^2+b^2=c^2$

となる関係式のことをいいます。

「ピタゴラスの定理」とも呼ばれるが、ピタゴラスが発見したのかどうかは定かではないらしいです。

・指数の一般化 ⇒ フェルマーの最終定理(ワイルズが証明済み)

・角度の一般化 ⇒ 余弦定理

証明は数多くのものがありますが、有名なものを紹介します。

両方とも正方形として上のような図を考える。小さな正方形の一辺を$c$としておく。

①　大きな正方形の面積$=(a+b)^2$

②　小さな正方形の面積$=c^2$

③　4つの三角形の合計面積$=2ab$

「①＝②＋③」なので、$=(a+b)^2=c^2+2ab$となり、これを整理すると

$a^2+b^2=c^2$となって三平方の定理が導かれた。

$a=3,b=4,c=5$

$a=5,b=12,c=13$

$a=6,b=8,c=10$

$a=8,b=15,c=17$

$a=7,b=24,c=25$

あたりがよく出てくる有名な三角形です。※三平方の式を満たす組$(a,b,c)$をピタゴラス数といいます。

一般的な形は以下の記事で書きました。

余弦定理

余弦定理と三平方の定理の関係性です。

$\theta=\displaystyle\frac{\pi}{2}$ のとき、$\cos \theta=0$ となる。

このとき、余弦定理は$a^2=b^2+c^2$となるが、これは三平方の定理そのものである。

余弦定理は三平方の定理の一般化とわかる。

$\cos \theta>0$ なので　$a^2=b^2+c^2-2bc\cos \theta<b^2+c^2$ 。

$\theta$が鋭角の時に$a^2<b^2+c^2$　という関係が成立するのは余弦定理から導かれる。

$\cos \theta<0$ なので　$a^2=b^2+c^2-2bc\cos \theta>b^2+c^2$ 。

$\theta$が鈍角の時に $a^2>b^2+c^2$　という関係が成立するのは余弦定理から導かれる。