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三平方の定理
三平方の定理とは、直角三角形において斜辺を$c$、それ以外の辺を$a,b$と置いたときに
$a^2+b^2=c^2$
となる関係式のことをいいます。
「ピタゴラスの定理」とも呼ばれるが、ピタゴラスが発見したのかどうかは定かではないらしいです。
・指数の一般化 ⇒ フェルマーの最終定理(ワイルズが証明済み)
・角度の一般化 ⇒ 余弦定理
証明
証明は数多くのものがありますが、有名なものを紹介します。
両方とも正方形として上のような図を考える。小さな正方形の一辺を$c$としておく。
① 大きな正方形の面積$=(a+b)^2$
② 小さな正方形の面積$=c^2$
③ 4つの三角形の合計面積$=2ab$
「①＝②＋③」なので、$=(a+b)^2=c^2+2ab$となり、これを整理すると
$a^2+b^2=c^2$となって三平方の定理が導かれた。
有名な三角形
$a=3,b=4,c=5$
$a=5,b=12,c=13$
$a=6,b=8,c=10$
$a=8,b=15,c=17$
$a=7,b=24,c=25$
あたりがよく出てくる有名な三角形です。※三平方の式を満たす組$(a,b,c)$をピタゴラス数といいます。
一般解
一般的な形は以下の記事で書きました。
余弦定理
余弦定理と三平方の定理の関係性です。
\(\theta=\displaystyle\frac{\pi}{2}\)の時
\(\theta=\displaystyle\frac{\pi}{2}\) のとき、\(\cos \theta=0\) となる。
このとき、余弦定理は\(a^2=b^2+c^2\)となるが、これは三平方の定理そのものである。
余弦定理は三平方の定理の一般化とわかる。
\(\theta\) が鋭角の時
\(\cos \theta>0\) なので \(a^2=b^2+c^2-2bc\cos \theta<b^2+c^2\) 。
\(\theta\)が鋭角の時に\(a^2<b^2+c^2\) という関係が成立するのは余弦定理から導かれる。
\(\theta\) が鈍角の時
\(\cos \theta<0\) なので \(a^2=b^2+c^2-2bc\cos \theta>b^2+c^2\) 。
\(\theta\)が鈍角の時に \(a^2>b^2+c^2\) という関係が成立するのは余弦定理から導かれる。
