三平方の定理

三平方の定理

三平方の定理とは、直角三角形において斜辺を$c$、それ以外の辺を$a,b$と置いたときに

$$a^2+b^2=c^2$$

となる関係式のことをいいます。

「ピタゴラスの定理」とも呼ばれるが、ピタゴラスが発見したのかどうかは定かではないらしいです。

・指数の一般化 ⇒ フェルマーの最終定理(ワイルズが証明済み)

・角度の一般化 ⇒ 余弦定理

証明

証明は数多くのものがありますが、有名なものを紹介します。

両方とも正方形として上のような図を考える。小さな正方形の一辺を$c$としておく。

①　大きな正方形の面積$=(a+b)^2$

②　小さな正方形の面積$=c^2$

③　4つの三角形の合計面積$=2ab$

「①＝②＋③」なので、$=(a+b)^2=c^2+2ab$となり、これを整理すると

$a^2+b^2=c^2$となって三平方の定理が導かれた。

一般解

方法1

以下の有名等式を利用する。

$$(ad-bc)^2+(ac+bd)^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)$$

三平方の形を考えるので、右辺を二乗の形にしたい。→\((a^2+b^2)=(c^2+d^2)\)　となるように変数を取ってみよう。

結論から言うと\(a=d=m,b=c=n\)とするとうまくいく。（\(ad-bc\neq 0\)であるべき要請もある）

\((m^2-n^2)^2+(2mn)^2=(m^2+n^2)^2\)

\(x=m^2-n^2\)、\(y=2mn\)、\(z=m^2+n^2\) （ただし、\(x,y,z\)は自然数）

三平方の定理の一般解。

方法2

上の図のように設定。（\(\theta\)は鋭角）

\(t=\tan\displaystyle\frac{\theta}{2}\)とおき、次のように考える。

直線は\(y=tx+t\)、円は\(x^2+y^2=1\)と書け、交点の座標は

$$\left(\displaystyle\frac{1-t^2}{1+t^2},\displaystyle\frac{2t}{1+t^2}\right)$$

交点の座標は\( (\cos \theta,\sin \theta)\)とも表せるので

$$(\cos \theta,\sin \theta)=\left(\displaystyle\frac{1-t^2}{1+t^2},\displaystyle\frac{2t}{1+t^2}\right)$$

\( (\cos \theta,\sin \theta)\)の有理点は無数に存在するので、

\(\cos \theta=\displaystyle\frac{x}{z},\sin \theta=\displaystyle\frac{y}{z}\)とすると$(x,y,z)$ の組は無数に存在する。

$\biggl(\displaystyle\frac{x}{z}\biggr)^2+\biggl(\displaystyle\frac{y}{z}\biggr)^2=1\Rightarrow x^2+y^2=z^2$ は無数に存在。

一般解を求める。\(t=\displaystyle\frac{n}{m}\)  （\(n<m\)）として、これを代入。

$$\displaystyle\frac{x}{z}=\displaystyle\frac{m^2-n^2}{m^2+n^2},\displaystyle\frac{y}{z}=\displaystyle\frac{2mn}{m^2+n^2}$$

 \(x=m^2-n^2\)、\(y=2mn\)、\(z=m^2+n^2\) （ただし、\(x,y,z\)は自然数）

余弦定理

余弦定理と三平方の定理の関係性。

\(\theta\)が直角

\(\theta=\displaystyle\frac{\pi}{2}\) のとき、\(\cos \theta=0\) となる。

余弦定理は\(a^2=b^2+c^2\)となり、これは三平方の定理そのもの。余弦定理は三平方の定理の一般化とわかる。

\(\theta\) が鋭角

\(\cos \theta>0\) なので　\(a^2=b^2+c^2-2bc\cos \theta<b^2+c^2\) 。

\(\theta\)が鋭角の時に\(a^2<b^2+c^2\)という関係が成立するのは余弦定理から導かれる。

\(\theta\) が鈍角

\(\cos \theta<0\) なので　\(a^2=b^2+c^2-2bc\cos \theta>b^2+c^2\) 。

\(\theta\)が鈍角の時に\(a^2>b^2+c^2\)という関係が成立するのは余弦定理から導かれる。