相加平均・相乗平均の関係

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相加平均・相乗平均

 

 

基本事項

\(a>0\) かつ \(b>0\)の時、次の関係式が成立する。(重要

\(\displaystyle\frac{a+b}{2}≧\sqrt{ab}\)   (等号成立は \(a=b\) のとき)

 

相加平均 …… 一般的に用いられる平均のこと。全部の要素を足して要素数で割る。

相乗平均 …… 要素数\(n\)として\(n\)個の積の\(n\)乗根である。

 

つまり上の式は要素数が\(2\)の時、相加平均の方が相乗平均より大きいということを示している。

 

証明

2{(左辺)-(右辺)}=

\((a+b)-2\sqrt{ab}=(\sqrt a-\sqrt b)^{2}\geq 0\)

 

拡張

上の関係は\(n\)次の式になったときも同様に成り立つ。

 

\(a_{1}>0  a_{2}>0  \cdots  a_{n}>0\)  の時

\(\displaystyle\frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{n}}{n}   \geq \sqrt[n]{a_{1}a_{2}a_{3} \cdots a_{n}}\)

等号成立は\(a_{1}=a_{2}=a_{3}= ・・・ =a_{n}\)

が成立する。

 

証明

\(\displaystyle\frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+ ・・・ +a_{n}}{n} = A_{n}\)  \(\sqrt[n]{a_{1}a_{2}a_{3}・・・a_{n}} = B_{n}\)

 

とおく。まずはじめに \( e^x \geq x+1\)  は成立する。

(左辺ー右辺で微分するなどしてすぐわかります。グラフ見ても分かります。)

 

\(1=e^0=e^{(\frac{a_{1}}{A_{n}}-1)+(\frac{a_{2}}{A_{n}}-1)+\cdots +(\frac{a_{n}}{A_{n}}-1)}\)

 

\(=e^{(\frac{a_{1}}{A_{n}}-1)} e^{(\frac{a_{2}}{A_{n}}-1)} \cdots e^{(\frac{a_{n}}{A_{n}}-1)}\)

 

\(\leq \biggl(\displaystyle\frac{a_{1}}{A_{n}}-1+1\biggr)\biggl(\displaystyle\frac{a_{2}}{A_{n}}-1+1\biggr) \cdots \biggl(\displaystyle\frac{a_{n}}{A_{n}}-1+1\biggr) \)

 

\(=\displaystyle\frac{B_{n}^n}{A_{n}^n}\)     より

 

\(A_{n} \geq B_{n} \)が成立する。

 

応用と例題

問題

文字はすべて正とする。

 

問1   \(x+\displaystyle\frac{4}{x+1}\)の最小値。

 

問2   \(x+\displaystyle\frac{1}{x^3}\)の最小値

 

問3   \(\displaystyle\frac{a+b}{c}+\displaystyle\frac{b+c}{a}+\displaystyle\frac{c+a}{b}\) \(\geq 6\)を示せ。

 

 

解答

不等式を示すだけの問題では大丈夫ですが、最小値を求める問題の時はその値を取るかどうかの確認を忘れないようにしましょう。

 

1番 

 \(x+\displaystyle\frac{4}{x+1}\) = \(x+1+\displaystyle\frac{4}{x+1}-1\)

  \( \geq 2\sqrt {(x+1)(\displaystyle\frac{4}{x+1})} -1\)

\(=3\)

\(x=1\)のとき確かに最小値\(3\)をとる。(式では3以上を示しただけで3となるxの存在は示していないので最後に言及しておくこと。)

 

2番

 \(x+\displaystyle\frac{1}{x^3}\)

\(=\displaystyle\frac{x}{3}+\displaystyle\frac{x}{3}+\displaystyle\frac{x}{3}+\displaystyle\frac{1}{x^3}\)

\( \geq 4 \sqrt[4]{\displaystyle\frac{1}{27}}\)

\(x=\sqrt[4]{3}\)で確かに最小値 \(\sqrt[4]{\displaystyle\frac{1}{27}}\)をとる。

 

3番

\(\displaystyle\frac{a+b}{c}+\displaystyle\frac{b+c}{a}+\displaystyle\frac{c+a}{b}\)

\(=\displaystyle\frac{a}{c}+\displaystyle\frac{b}{c}+\displaystyle\frac{b}{a}+\displaystyle\frac{c}{a}+\displaystyle\frac{c}{b}+\displaystyle\frac{a}{b}\)

\( \geq 2\sqrt{ \biggl(\displaystyle\frac{a}{c}\biggr)\biggl(\displaystyle\frac{c}{a} \biggr)} + 2\sqrt{ \biggl(\displaystyle\frac{a}{b}\biggr)\biggl(\displaystyle\frac{b}{a} \biggr)}+ 2\sqrt{ \biggl(\displaystyle\frac{b}{c}\biggr)\biggl(\displaystyle\frac{c}{b} \biggr)} \)

\(=6\)

 

 

 

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