相加平均・相乗平均の関係

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基本事項

$a>0$ かつ $b>0$の時、次の関係式が成立する。

$$\displaystyle\frac{a+b}{2}≧\sqrt{ab}$$

等号成立は $a=b$ 

 

相加平均 …… 一般的に用いられる平均のこと。全部の要素を足して要素数で割る。

相乗平均 …… 要素数$n$として$n$個の積の$n$乗根である。

 

つまり上の式は要素数が$2$の時、相加平均の方が相乗平均より大きいということを示している。

 

証明

$$ 2(左辺-右辺)=(a+b)-2\sqrt{ab}=(\sqrt a-\sqrt b)^{2}\geq 0$$

 

$n$変数

上の関係は\(n\)次の式になったときも同様に成り立つ。

$a_{1}>0 , a_{2}>0 , \cdots , a_{n}>0$  の時、次の関係式が成立する。

$$\displaystyle\frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{n}}{n}   \geq \sqrt[n]{a_{1}a_{2}a_{3} \cdots a_{n}}$$

等号成立は$a_{1}=a_{2}=a_{3}= \cdots =a_{n}$

 

証明

$\displaystyle\frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+ ・・・ +a_{n}}{n} = A_{n}\)  \(\sqrt[n]{a_{1}a_{2}a_{3}・・・a_{n}} = B_{n}$とおく。

前提として$e^x \geq x+1$は成立する。(左辺ー右辺で微分するなどしてわかる)

 

$$1=e^0=e^{(\frac{a_{1}}{A_{n}}-1)+(\frac{a_{2}}{A_{n}}-1)+\cdots +(\frac{a_{n}}{A_{n}}-1)}$$

 

$$=e^{(\frac{a_{1}}{A_{n}}-1)} e^{(\frac{a_{2}}{A_{n}}-1)} \cdots e^{(\frac{a_{n}}{A_{n}}-1)}$$

 

$$\leq \biggl(\displaystyle\frac{a_{1}}{A_{n}}-1+1\biggr)\biggl(\displaystyle\frac{a_{2}}{A_{n}}-1+1\biggr) \cdots \biggl(\displaystyle\frac{a_{n}}{A_{n}}-1+1\biggr)=\displaystyle\frac{B_{n}^n}{A_{n}^n}$$

 

$A_{n} \geq B_{n}$ が成立する。

 

 

応用と例題

問題

文字はすべて正とする。

問1  

\(x+\displaystyle\frac{4}{x+1}\)の最小値?

問2   

\(x+\displaystyle\frac{1}{x^3}\)の最小値?

問3   

\(\displaystyle\frac{a+b}{c}+\displaystyle\frac{b+c}{a}+\displaystyle\frac{c+a}{b}\) \(\geq 6\)を示せ。

 

解答

不等式を示すだけの問題は気にしなくてよいが、最小値を求める問題の時は最小値を取るかの確認を忘れずに。

1番 

 \(x+\displaystyle\frac{4}{x+1}=x+1+\displaystyle\frac{4}{x+1}-1\geq 2\sqrt {(x+1)(\displaystyle\frac{4}{x+1})} -1=3\)

\(x=1\)のとき確かに最小値\(3\)をとる。(式では3以上を示しただけで3となる\(x\)の存在は示していないので最後に言及すること。)

2番

 \(x+\displaystyle\frac{1}{x^3}=\displaystyle\frac{x}{3}+\displaystyle\frac{x}{3}+\displaystyle\frac{x}{3}+\displaystyle\frac{1}{x^3}\geq 4 \sqrt[4]{\displaystyle\frac{1}{27}}\)

\(x=\sqrt[4]{3}\)で確かに最小値 \(4\sqrt[4]{\displaystyle\frac{1}{27}}\)をとる。

3番

\(\displaystyle\frac{a+b}{c}+\displaystyle\frac{b+c}{a}+\displaystyle\frac{c+a}{b}\)

\(=\displaystyle\frac{a}{c}+\displaystyle\frac{b}{c}+\displaystyle\frac{b}{a}+\displaystyle\frac{c}{a}+\displaystyle\frac{c}{b}+\displaystyle\frac{a}{b}\)

\( \geq 2\sqrt{ \biggl(\displaystyle\frac{a}{c}\biggr)\biggl(\displaystyle\frac{c}{a} \biggr)} + 2\sqrt{ \biggl(\displaystyle\frac{a}{b}\biggr)\biggl(\displaystyle\frac{b}{a} \biggr)}+ 2\sqrt{ \biggl(\displaystyle\frac{b}{c}\biggr)\biggl(\displaystyle\frac{c}{b} \biggr)} \)

\(=6\)

 

2変数の場合の図形による証明

 

上のような円を考える。ただし、ACは円の直径でBDと直交している。

\(AE=x,CE=y\) 

\(BE=DE \) 

これと方べきの定理を使うと、$AE\cdot CE=BE\cdot DE=BE^2$

$BE$を求めると \(BE=DE=\sqrt{xy}\)

円の中では直径が最大の長さの線分なので \(AC\geqq BD\) が成立する。言い換えると

$$x+y\geq 2\sqrt{xy}$$

等号成立はBDが直径となる時でこのとき$x=y$

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