相加・相乗平均と方べきの定理

上のように円を考える。ただし、ACは円の直径でBDと直交している。

\(BE=DE\)　\(\cdots\)　①

\(AE=x\)、\(CE=y\)　\(\cdots\)　②とおく。

方べきの定理と①より　\(AE\cdot CE=BE\cdot DE=BE^2\)　

（※この方べきの定理は△\(AED\)∽△\(BEC\)　などから導ける。）

②を代入して\(BE(=DE)\)を求めると　\(BE=DE=\sqrt{xy}\)

ところで円の中では直径が最大の長さの線分なので　\(AC\geq BD\)　が成立する。

②を代入する（\(x\)、\(y\)で表す）と　\(x+y\geq 2\sqrt{xy}\)　となる。

つまり、\(\displaystyle\frac{x+y}{2}\geq \sqrt{xy}\)　という相加平均・相乗平均の関係式が出てくる。

等号成立はBDが直径となる時でこのとき明らかに \(x=y\) 。こちらもきれいに説明できている。