相加・相乗平均と方べきの定理

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相加・相乗平均と方べきの定理

 

 

 

上のように円を考える。ただし、ACは円の直径でBDと直交している。

 

\(BE=DE\) \(\cdots\) ①

 

\(AE=x\)、\(CE=y\) \(\cdots\) ②とおく。

 

方べきの定理と①より \(AE\cdot CE=BE\cdot DE=BE^2\) 

 

(※この方べきの定理は△\(AED\)∽△\(BEC\) などから導ける。)

 

②を代入して\(BE(=DE)\)を求めると \(BE=DE=\sqrt{xy}\)

 

 

 

ところで円の中では直径が最大の長さの線分なので \(AC\geq BD\) が成立する。

 

②を代入する(\(x\)、\(y\)で表す)と \(x+y\geq 2\sqrt{xy}\) となる。

 

つまり、\(\displaystyle\frac{x+y}{2}\geq \sqrt{xy}\) という相加平均・相乗平均の関係式が出てくる。

 

 

等号成立はBDが直径となる時でこのとき明らかに \(x=y\) 。こちらもきれいに説明できている。

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