相加・相乗平均と方べきの定理
上のように円を考える。ただし、ACは円の直径でBDと直交している。
\(BE=DE\) \(\cdots\) ①
\(AE=x\)、\(CE=y\) \(\cdots\) ②とおく。
方べきの定理と①より \(AE\cdot CE=BE\cdot DE=BE^2\)
（※この方べきの定理は△\(AED\)∽△\(BEC\) などから導ける。）
②を代入して\(BE(=DE)\)を求めると \(BE=DE=\sqrt{xy}\)
ところで円の中では直径が最大の長さの線分なので \(AC\geq BD\) が成立する。
②を代入する（\(x\)、\(y\)で表す）と \(x+y\geq 2\sqrt{xy}\) となる。
つまり、\(\displaystyle\frac{x+y}{2}\geq \sqrt{xy}\) という相加平均・相乗平均の関係式が出てくる。
等号成立はBDが直径となる時でこのとき明らかに \(x=y\) 。こちらもきれいに説明できている。