対称式 交代式
まずは、対称式、交代式の定義からです。
対称式とは、2つの文字を入れ替えた時に式が変わらないもの。
例、$(a+b)c^2+(b+c)a^2+(c+a)b^2$
交代式とは、2つの文字を入れ替えた時に式が$(-1)$倍になるもの。
例、$(a-b)c^2+(b-c)a^2+(c-a)b^2$
対称式 因数分解
対称式に関しては、よく使えるわけではないですが、ポイントとしては、答えが対称式になること、三変数の場合、$(a+b)$を因数に持つならば$(a+b)(b+c)(c+a)$を因数に持つ。
交代式 因数分解
3変数の交代式の因数分解は$(a-b)(b-c)(c-a)$を必ず因数に持ち、残りの部分は対称式になる。
例
$a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)$
$=(b-c)a^2-(b-c)(b+c)a+bc(b-c)$
$=(b-c)(a^2-(b+c)a+bc)$
$=(b-c)(a-b)(a-c)$
$=-(a-b)(b-c)(c-a)$
$(a-b)(b-c)(c-a)$を因数に持つことが分かる。
証明
因数定理を用いる。$f(a,b,c)$とおくと、$f(a,c,b)=-f(a,b,c)$
ここで、$b=c$とすると$f(a,c,c)=0$となる。ここで、$b$を変数とみると
$(b-c)$を因数に持つことが分かる。