対称式 交代式 因数分解

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対称式 交代式 

まずは、対称式、交代式の定義からです。

対称式とは、2つの文字を入れ替えた時に式が変わらないもの。

例、$(a+b)c^2+(b+c)a^2+(c+a)b^2$

交代式とは、2つの文字を入れ替えた時に式が$(-1)$倍になるもの。

例、$(a-b)c^2+(b-c)a^2+(c-a)b^2$

 

 

対称式 因数分解

対称式に関しては、よく使えるわけではないですが、ポイントとしては、答えが対称式になること、三変数の場合、$(a+b)$を因数に持つならば$(a+b)(b+c)(c+a)$を因数に持つ。

 

 

交代式 因数分解

3変数の交代式の因数分解は$(a-b)(b-c)(c-a)$を必ず因数に持ち、残りの部分は対称式になる。

 

$a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)$

$=(b-c)a^2-(b-c)(b+c)a+bc(b-c)$

$=(b-c)(a^2-(b+c)a+bc)$
$=(b-c)(a-b)(a-c)$

$=-(a-b)(b-c)(c-a)$

 

$(a-b)(b-c)(c-a)$を因数に持つことが分かる。

 

証明

因数定理を用いる。$f(a,b,c)$とおくと、$f(a,c,b)=-f(a,b,c)$

ここで、$b=c$とすると$f(a,c,c)=0$となる。ここで、$b$を変数とみると

$(b-c)$を因数に持つことが分かる。

 

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