対称式 交代式 因数分解

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対称式 交代式 定義

対称式とは、2つの文字を入れ替えた時に式が変わらないもの。

例、$(a+b)c^2+(b+c)a^2+(c+a)b^2$

交代式とは、2つの文字を入れ替えた時に式が$(-1)$倍になるもの。

例、$(a-b)c^2+(b-c)a^2+(c-a)b^2$

対称式 因数分解

対称式の因数分解は答えが対称式になる。

例として、三変数の場合に$(a+b)$を因数に持つならば$(a+b)(b+c)(c+a)$を因数に持つ。

交代式 因数分解

3変数の交代式の因数分解は$(a-b)(b-c)(c-a)$を必ず因数に持ち、残りの部分は対称式になる。

証明

$f(a,b,c)$とおくと交代式なので、$f(a,c,b)=-f(a,b,c)$が成り立つ。

ここで、$b=c$とすると$f(a,c,c)=0$となる。

$b$を変数とみると因数定理より$(b-c)$を因数に持つことが分かる。$(a-b),(c-a)$も同様。

$a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)$

$=(b-c)a^2-(b-c)(b+c)a+bc(b-c)$

$=(b-c)(a^2-(b+c)a+bc)$

$=-(a-b)(b-c)(c-a)$

となり、$(a-b)(b-c)(c-a)$を因数に持つことが分かる。

 

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