正三角形の面積、正四面体の体積

正三角形の面積は一辺の長さを$a$とすると $\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$

正四面体の体積は $\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{12}a^3$

証明

底辺は$a$で、高さが$a\times \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}$となるので

$$a\times \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}a\times \displaystyle\frac{1}{2}=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}a^2 $$

上の結果より、底面積は$\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}a^2 $となる。

正四面体の真ん中を切ると以下のような断面が出てくる。ここで高さを$x$とおくと

$\sqrt{\left(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}a\right)^2-x^2}+\sqrt{a^2-x^2}=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}a$

複雑ですが、移行して二乗して根号を外すと、$x=\displaystyle\frac{\sqrt{6} a}{3}$となるので体積は

$$\displaystyle\frac{1}{3}\times \displaystyle\frac{\sqrt{6} a}{3}\times \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}a^2=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{12}a^3$$

※2通りの面積の表し方から、$x$を出すこともできる