[mathjax]
正三角形の面積、正四面体の体積
正三角形の面積は一辺の長さを$a$とすると $\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$
正四面体の体積は $\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{12}a^3$
証明
正三角形
底辺は$a$で、高さが$a\times \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}$となるので（\(30^{\circ},60^{\circ},90^{\circ}\)の直角三角形）
$a\times \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}a\times \displaystyle\frac{1}{2}$$=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}a^2 $
正四面体
上の結果より、底面積は$\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}a^2 $となる。
正四面体の真ん中を切ると以下のような断面が出てくる。ここで高さを$x$とおくと
$\sqrt{\left(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}a\right)^2-x^2}+\sqrt{a^2-x^2}=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}a$
複雑ですが、移行して二乗して根号を外すと（二回する）
$x=\displaystyle\frac{\sqrt{6} a}{3}$となるので体積は
$\displaystyle\frac{1}{3}\times \displaystyle\frac{\sqrt{6} a}{3}\times \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$$=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{12}a^3$
