円錐の表面積

図形
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円錐の表面積

円錐の表面積は底面の半径を$r$、母線の長さを$a$とすると

$\pi r^2+\pi ar$

と書けます。(第一項が底面積、第二項が側面積)

 

証明

底面積はそのまま円の面積公式より、$\pi r^2$となることがわかる。

 

側面積は、展開してできた扇形において半径は$a$、弧の長さは$2\pi r$となる。

 

よってこの扇形の面積は、$S=\displaystyle\frac{1}{2}\times a\times 2\pi r=\pi ra$となる。

 

結果として、円錐の表面積は$\pi r^2+\pi ar$となる。

 

・扇形の面積部分の計算

高校で扇形の面積公式をするが、いまいち厳密に感じられない場合(?)の証明。中心角を$x$とおく。

弧の長さに関して以下の等式が成り立つ。

$2\pi\times a\times \displaystyle\frac{x}{360}=2\pi r$ 

 

ここで、面積は

$S=\pi a^2\times \displaystyle\frac{x}{360}=a^2\pi \times \displaystyle\frac{r}{a}=\pi ar$

となる。

 

 

 

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