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正七角形
あまりなじみのない正七角形に関する面白い関係性を紹介します。
関係式
正七角形 \(\mathrm{ABCDEFG}\)で、\(\mathrm{CD}=a\)、\(\mathrm{AC}=b\)、\(\mathrm{AE}=c\)です。
この時、次の関係が成立する。
$$\displaystyle\frac{1}{a} =\displaystyle\frac{1}{b} +\displaystyle\frac{1}{c}$$
証明
四角形\(\mathrm{ACDE}\)でトレミーの定理を使用。
\(\mathrm{AC}\times \mathrm{DE}+\mathrm{CD}\times \mathrm{AE}=\mathrm{CE}\times \mathrm{AD}\) ……トレミーの定理
\(\mathrm{CD}=\mathrm{DE}=a\) 、\(\mathrm{AC}=\mathrm{CE}=b\) 、\(\mathrm{AD}=\mathrm{AE}=c\) を代入すると
\(ab+ac=bc\) となる。
これを両辺\(abc\) で割ると \(\displaystyle\frac{1}{a} =\displaystyle\frac{1}{b} +\displaystyle\frac{1}{c}\) となり証明完了。
