\(2\pi\)の範囲で計算したフーリエ級数を一般の周期（\(2L\)）に拡張する。
\(x=\displaystyle\frac{\pi}{T}t\)という変換をする。
フーリエ級数展開
\(f(x)=\displaystyle\frac{a_{0}}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(a_{n}\cos \frac{n\pi x}{L}+b_{n}\sin \frac{n\pi x}{L})\)
以下、\(g(x)=g(\displaystyle\frac{\pi}{T}t)=f(t)\) と書けることを使っている。
※ \(f(x)=f(x+2\pi)\) （周期\(2\pi\)より。） \(x=\displaystyle\frac{\pi}{T}t\)を代入すると
\(f(\displaystyle\frac{\pi}{T}t)=f(\displaystyle\frac{\pi}{T}(t+2T))\)
\(g(t)=g(t+2T)\) といったように書けて、周期\(2T\)になっている。
以下、係数を求めていきます。
\(a_{0}\)
\(a_{0}=\displaystyle\frac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} g(x) dx\)
変換すると
\(a_{0}=\displaystyle\frac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-T}^{T} f(t) \displaystyle\frac{\pi}{T}dt=\displaystyle\frac{1}{T}\displaystyle\int_{-T}^{T} f(t) dt\)
\(a_{n}\)
\(a_{n}=\displaystyle\frac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} g(x)\cos nx dx\)
変換すると
\(a_{n}=\displaystyle\frac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-T}^{T} f(t) \cos\displaystyle\frac{n\pi}{T}t\cdot\displaystyle\frac{\pi}{T}dt=\displaystyle\frac{1}{T}\displaystyle\int_{-T}^{T} f(t) \cos\displaystyle\frac{n\pi}{T}tdt\)
\(b_{n}\)
\(b_{n}=\displaystyle\frac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} g(x)\sin nx dx\)
変換すると
\(b_{n}=\displaystyle\frac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-T}^{T} f(t) \sin\displaystyle\frac{n\pi}{T}t\cdot\displaystyle\frac{\pi}{T}dt=\displaystyle\frac{1}{T}\displaystyle\int_{-T}^{T} f(t) \sin\displaystyle\frac{n\pi}{T}tdt\)