フーリエ級数展開(一般周期)

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\(2\pi\)の範囲で計算したフーリエ級数を一般の周期(\(2L\))に拡張する。

 

\(x=\displaystyle\frac{\pi}{T}t\)という変換をする。

 

 

フーリエ級数展開

 

\(f(x)=\displaystyle\frac{a_{0}}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(a_{n}\cos \frac{n\pi x}{L}+b_{n}\sin \frac{n\pi x}{L})\)

 

以下、\(g(x)=g(\displaystyle\frac{\pi}{T}t)=f(t)\)   と書けることを使っている。

 

※ \(f(x)=f(x+2\pi)\)    (周期\(2\pi\)より。) \(x=\displaystyle\frac{\pi}{T}t\)を代入すると

 

\(f(\displaystyle\frac{\pi}{T}t)=f(\displaystyle\frac{\pi}{T}(t+2T))\)    

 

\(g(t)=g(t+2T)\)  といったように書けて、周期\(2T\)になっている。

 

以下、係数を求めていきます。

 

\(a_{0}\)

\(a_{0}=\displaystyle\frac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} g(x) dx\)

 

変換すると

\(a_{0}=\displaystyle\frac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-T}^{T} f(t) \displaystyle\frac{\pi}{T}dt=\displaystyle\frac{1}{T}\displaystyle\int_{-T}^{T} f(t) dt\)

 

\(a_{n}\)

\(a_{n}=\displaystyle\frac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} g(x)\cos nx dx\)

 

変換すると

\(a_{n}=\displaystyle\frac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-T}^{T} f(t) \cos\displaystyle\frac{n\pi}{T}t\cdot\displaystyle\frac{\pi}{T}dt=\displaystyle\frac{1}{T}\displaystyle\int_{-T}^{T} f(t) \cos\displaystyle\frac{n\pi}{T}tdt\)

 

\(b_{n}\)

\(b_{n}=\displaystyle\frac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} g(x)\sin nx dx\)

 

変換すると

\(b_{n}=\displaystyle\frac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-T}^{T} f(t) \sin\displaystyle\frac{n\pi}{T}t\cdot\displaystyle\frac{\pi}{T}dt=\displaystyle\frac{1}{T}\displaystyle\int_{-T}^{T} f(t) \sin\displaystyle\frac{n\pi}{T}tdt\)

 

 

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