フーリエ級数に関連した等式

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フーリエ級数に関連した等式を2つ紹介、証明します。

 

問題

以下を証明する。

1番

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \displaystyle\frac{1}{k^2}=\displaystyle\frac{1}{1} + \displaystyle\frac{1}{4} +\displaystyle\frac{1}{9}  \cdots =\displaystyle\frac{\pi^2}{6}\)  ※バーゼル問題

 

2番

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \displaystyle\frac{(-1)^{k-1}}{k^2}=\displaystyle\frac{1}{1} – \displaystyle\frac{1}{4} +\displaystyle\frac{1}{9} – \cdots =\displaystyle\frac{\pi^2}{12}\)

 

証明

\( f(x)=x^2\)を考える。(\(-\pi\leq x\leq \pi\))

偶関数であることに注意してフーリエ級数展開する。

 

\(f(x) =  \displaystyle\frac{a_{0}}{2} + \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} a_{k}\cos kx \)

 

\(a_{0}\)

\( a_{0} = \displaystyle\frac{1}{\pi}\displaystyle\int _{-\pi}^{\pi} f(x) dx\)という式を使うと

 

\( a_{0} = \displaystyle\frac{1}{\pi}\displaystyle\int _{-\pi}^{\pi}x^2 dx=\displaystyle\frac{1}{\pi} \biggl[\displaystyle\frac{x^3}{3} \biggr]_{-\pi}^{\pi}=\displaystyle\frac{2}{3}\pi^2 \)

 

\(a_{k}\)

\(a_{k} = \displaystyle\frac{1}{\pi}\displaystyle\int _{-\pi}^{\pi} f(x)\cos kx dx\)の式を使うと

 

\(\pi a_{k} = \displaystyle\int _{-\pi}^{\pi}x^2\cos kx dx=\biggl[\displaystyle\frac{x^2\sin kx}{k}\biggr]_{-\pi}^{\pi}-\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\displaystyle\frac{2x\sin kx}{k} dx\)

 

\(=\biggl[\displaystyle\frac{2x\cos kx}{k^2}\biggr]_{-\pi}^{\pi}-\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\displaystyle\frac{2\cos kx}{k^2} dx\)

 

\(=\displaystyle\frac{4\pi\cos k\pi}{k^2}\)\(-\biggl[\displaystyle\frac{2\sin kx}{k^3}\biggr]_{-\pi}^{\pi}\)

 

\(=\displaystyle\frac{4\pi\cos k\pi}{k^2}\)

 

 よって求める \(a_{k}\) は  \(a_{k}=\displaystyle\frac{4}{k^2}(-1)^k\) 

 

\(f(x)\)

\(a_{0}\) と \(a_{k}\)  を\(f(x)\)の式に代入すると、

 

\(f(x)=\displaystyle\frac{\pi^2}{3} + 4\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\displaystyle\frac{(-1)^k\cos kx}{k^2} \)

※フーリエ級数。

 

\( x=\pi\) を代入 1番

\(\pi^2=\displaystyle\frac{\pi^2}{3}+4\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{k^2}\)

 

式を整理すると \(\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \displaystyle\frac{1}{k^2}=\displaystyle\frac{\pi^2}{6}\) が示される。(1番)

 

\( x=0\) を代入 2番

\(0=\displaystyle\frac{\pi^2}{3}+4\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\displaystyle\frac{(-1)^k}{k^2}\)

 

式を整理すると \(\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \displaystyle\frac{(-1)^{k-1}}{k^2}=\displaystyle\frac{\pi^2}{12}\) が示される。(2番)

 

 

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