∆(1/r)

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\(\Delta\displaystyle\frac{1}{r}\)

 

 

等式

結果を先に示しておく。

 

\(\Delta\displaystyle\frac{1}{r}=-4\pi\delta(\boldsymbol{r})\)

 

証明

フーリエ変換等を使用する

 

\(\Delta f(\boldsymbol{r})\)のフーリエ変換

 

\(f(\boldsymbol{r})=\displaystyle\frac{1}{(2\pi)^3}\displaystyle\int F(\boldsymbol{k}) e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}} d^3\boldsymbol{k}\)         \(\cdots\) ①     より

 

\(\Delta f(\boldsymbol{r})=\displaystyle\frac{1}{(2\pi)^3}\displaystyle\int (i\boldsymbol|k|)^2 F(\boldsymbol{k}) e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}} d^3\boldsymbol{k}\)       \(\cdots\)  ②

 

②を書き換えると(逆変換)

 

\(\displaystyle\int \Delta f(\boldsymbol{r}) e^{-i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}} d^3 \boldsymbol{r}=(i\boldsymbol|k|)^2 F(\boldsymbol{k})=-|k|^2 F(\boldsymbol{k})\)       \(\cdots\)  ③  

 

※これは求めようとしていた、\(\Delta f(\boldsymbol{r})\)のフーリエ変換

 

デルタ関数のフーリエ変換を考える。

\(\displaystyle\int -\delta(\boldsymbol{r}) e^{-i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}} d^3 \boldsymbol{r}=-e^0=-1\)       \(\cdots\)  ④

 

 

③④から、\(\Delta f(\boldsymbol{r})=-\delta(\boldsymbol{r})\)  \(\cdots\) ⑤ 

となる\( f(\boldsymbol{r})\)を考えると、\(F(\boldsymbol{k})=\displaystyle\frac{1}{|\boldsymbol{k}|^2}\)      この式を①に代入する。

 

\(f(\boldsymbol{r})\)

 

\(f(\boldsymbol{r})=\displaystyle\frac{1}{(2\pi)^3}\displaystyle\int F(\boldsymbol{k}) e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}} d^3 \boldsymbol{k}\) 

 

\(=\displaystyle\frac{1}{(2\pi)^3}\displaystyle\int \displaystyle\frac{1}{\boldsymbol|k|^2} e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}} d^3 \boldsymbol{k}\) 

 

\(=\displaystyle\frac{1}{(2\pi)^3}\displaystyle\int_{0}^{\infty}dk \displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin\theta d\theta\displaystyle\int_{0}^{2\pi} d\phi e^{ikr\cos\theta}\)    (極座標表示)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{(2\pi)^2}\displaystyle\int_{0}^{\infty}dk \displaystyle\int_{1}^{-1} -dt e^{ikrt}\)    (\(t=\cos\theta\) とした。)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{(2\pi)^2}\displaystyle\int_{0}^{\infty}dk \displaystyle\int_{-1}^{1}e^{ikrt} dt\) 

 

\(=\displaystyle\frac{1}{(2\pi)^2}\displaystyle\int_{0}^{\infty}dk \displaystyle\frac{e^{ikrt}-e^{-ikrt}}{ikr}\) 

 

\(=\displaystyle\frac{1}{(2\pi)^2}\displaystyle\int_{0}^{\infty}dk \displaystyle\frac{2i\sin kr}{ikr}\)    (オイラー公式)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2\pi^2 r}\displaystyle\int_{0}^{\infty}dy \displaystyle\frac{\sin y}{y} \)     (\(y=kr\)とした)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2\pi^2 r}\cdot \displaystyle\frac{\pi}{2}\)     (ディリクレ積分)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{4\pi r}\)

 

最終結果

⑤より

\(\Delta f(\boldsymbol{r})=-\delta(\boldsymbol{r})\) 

 

\(f(\boldsymbol{r})=\displaystyle\frac{1}{4\pi r}\) なので

 

\(\Delta\displaystyle\frac{1}{r}=-4\pi\delta(\boldsymbol{r})\)

 

 

 

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