2進数とは

[mathjax]

我々が普段使っている数字は「10進数」と呼ばれるものです。

「10進数」では10になると上の位に繰り上がりますが、「2進数」では2になると繰り上がります。

コンピュータでは2進数が使われています。

これは、2進数での「0」と「1」を電圧の強弱に対応させることが出来て都合がいいからです。

こちらのほうが簡単です。

その前に10進数とはどういうことなのか。例えば1234を考えてみます。

\(1234=1\times 10^3+2\times 10^2+3\times 10^1+4\times 10^0\)

ということなのです。

同様に2進数の1101はどう書けるか。2進数なので10ずつ区切っていたものが2に代わります。

\(1101=1\times 2^3+1\times 2^2+1\times 2^0\)

例

\(1101_{(2)}=1\times 2^3+1\times 2^2+1\times 2^0=13\)

\(10110_{(2)}=1\times 2^4+1\times 2^2+1\times 2=22\)

\(26\)があるとします。さて、どうするか。

2の累乗を考えると \(26\) には\(16\) を含んでいます。

\(26=16+10\)

\(10\)は次に小さい\(8\)を含んでいます。

\(10=8+2\)

つまり、

\(26=16+8+2=\)\(1\times 2^4+1\times 2^3+0\times 2^2+1\times 2^1+0\times 2^0\)

これは\(11010_{(2)}\)　を意味しています。

次に、これを別の形で捉えます。２で順番にくくっていくと

\(1\times 2^4+1\times 2^3+0\times 2^2+1\times 2^1+0\times 2^0\)

\(=2\times (2\times (2\times(2+1))+1)\)

ちょっと、ややこしいですがこうなります。

これは

一回目\(2\)で割ると　商 \(2\times(2\times (2+1))+1\)　あまり \(0\)

さらに\(2\)で割ると　商 \(2\times (2+1)\)　　　　　　あまり \(1\)

さらに\(2\)で割ると　商 \(2+1\)　　　　　　　　　　　あまり \(0\)

さらに\(2\)で割ると　商 \(1\)　　　　　　　　　　　　あまり \(1\)

これ、青字部分を見てください。下から見ると\(11010\) となり、二進数になっています。これが2進数で教科書に載ってる（私の時は載ってました）2進数筆算のからくりです。