不定方程式　

不定方程式　

不定方程式とは、解が定まらない方程式です。次のような方程式の一般解を求めます。

\(ax+by=c\) （ \(c\neq 0\)）

 例題

\(5x+8y=33\)

特殊解を求める際に、合同式を利用してみます。（ユークリッドの互除法でも良い）

\(8y=33-5x\)　と変形。

\(8y \equiv 33\) (mod5)   

\(16y \equiv 66\) (mod5)　・・・両辺2倍

\(y \equiv 1\) (mod5)

\(y=1\) としてみると\(x=5\) となり成立。

\(5\cdot x+8\cdot y=33\)

\(5\cdot 5+8\cdot 1=33\)

辺々引くと   \(5(x-5)=-8(y-1)\)

5と8は互いに素なので \((x-5)\) は8の倍数、\((y-1)\) は5の倍数。

整数\(k\)を用いて、\(x=-8k+5 , y=5k+1\)   と書ける。