不定方程式 

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不定方程式 

不定方程式とは、解が定まらない方程式です。

次のような方程式の一般解を求めます。

\(ax+by=c\) ( \(c\neq 0\))

 

 例題

\(5x+8y=33\)

 

まずは、特殊解を見つけるわけですが、そろばんやってる人はすぐわかるらしい。(「聞いた話+ぼくはそろばんできない」なので真偽のほどは分かりませんが)

ともかく見つけるわけですが、今回は合同式を利用してみます。(ユークリッドの互除法でも良い)

 

\(8y=33-5x\) と変形。

 

\(8y \equiv 33\) (mod5)   

 

\(16y \equiv 66\) (mod5) 両辺2倍した。

 

\(y \equiv 1\) (mod5)

 

\(y=1\) としてみると\(x=5\) となり成立。

 

\(5\cdot x+8\cdot y=33\)

\(5\cdot 5+8\cdot 1=33\)

 

辺々引くと   \(5(x-5)=-8(y-1)\)

 

5と8は互いに素なので \((x-5)\) は8の倍数、\((y-1)\) は5の倍数。

 

整数\(k\)を用いて

\(x=-8k+5 , y=5k+1\)   と書ける。

 

 

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