[mathjax]
三平方の定理の一般解
題名の通りの話です。
三平方の定理（ピタゴラスの定理）を満たす自然数の一般解を求めていきます。
\(x^2+y^2=z^2\)
方法1
以下の有名等式を利用します。
\((ad-bc)^2+(ac+bd)^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)\)
三平方形を考えるので、右辺を二乗の形にしたい。→
\((a^2+b^2)=(c^2+d^2)\) となるように変数を取ってみよう。
結論から言うと \(a=d=m\)、\(b=c=n\)を代入するとうまくいく。（\(ad-bc\)が0になってほしくないからこの組み合わせ。）
この時、\((ad-bc)^2+(ac+bd)^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)\)は
\((m^2-n^2)^2+(2mn)^2=(m^2+n^2)^2\)
\(x^2+y^2=z^2\) と比較すると
\(x=m^2-n^2\)、\(y=2mn\)、\(z=m^2+n^2\) （ただし、\(x,y,z\)は自然数）
これが三平方の定理の一般解。
この方法は簡潔だが、これだけでは全ての解を表したかどうかは分からない。
方法2を考える。
方法2
上の図のように設定。（\(\theta\)は鋭角）
\(t=\tan\displaystyle\frac{x}{2}\)とおく。
次のように考える。
直線は\(y=tx+t\)、円は\(x^2+y^2=1\)
と書けて、これを解くと交点が求まる。交点の座標は
\((\displaystyle\frac{1-t^2}{1+t^2},\displaystyle\frac{2t}{1+t^2})\)。
また、交点の座標は\( (\cos \theta,\sin \theta)\) ともかける。
\( (\cos \theta,\sin \theta)=(\displaystyle\frac{1-t^2}{1+t^2},\displaystyle\frac{2t}{1+t^2})\)
つまり、\( (\cos \theta,\sin \theta)\) の有理点は無数に存在。
\(\cos \theta=\displaystyle\frac{x}{z}\)
\(\sin \theta=\displaystyle\frac{y}{z}\)
とすると\( (x , y , z)\) の組は無数に存在。
\(\biggl(\displaystyle\frac{x}{z}\biggr)^2+\biggl(\displaystyle\frac{y}{z}\biggr)^2=1\)
\(x^2+y^2=z^2\) は無数に存在。
次にここからも一般解を求める。\(t=\displaystyle\frac{n}{m}\) （\(n<m\)）として、これを代入。
\(\displaystyle\frac{x}{z}=\displaystyle\frac{m^2-n^2}{m^2+n^2}\)
\(\displaystyle\frac{y}{z}=\displaystyle\frac{2mn}{m^2+n^2}\)
よって答えは
\(x=m^2-n^2\)、\(y=2mn\)、\(z=m^2+n^2\) （ただし、\(x,y,z\)は自然数）
