三平方の定理の一般解

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三平方の定理の一般解

題の通りの話です。

 三平方の定理(ピタゴラスの定理)を満たす自然数の一般解を求めます。

 

\(x^2+y^2=z^2\)

 

方法1

以下の有名等式を利用します。

 

\((ad-bc)^2+(ac+bd)^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)\)

 

三平方形を考えるので、右辺を二乗の形にしたい。→

\((a^2+b^2)=(c^2+d^2)\) となるように変数を取ってみよう。

 

結論から言うと \(a=d=m\)、\(b=c=n\)を代入するとうまくいく。(\(ad-bc\)が0になってほしくないからこの組み合わせ。)

 

この時、\((ad-bc)^2+(ac+bd)^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)\)は

 

\((m^2-n^2)^2+(2mn)^2=(m^2+n^2)^2\)

 

\(x^2+y^2=z^2\) と比較すると

 

\(x=m^2-n^2\)、\(y=2mn\)、\(z=m^2+n^2\) (ただし、\(x,y,z\)は自然数)

 

これが三平方の定理の一般解。

この方法は簡潔だが、これだけでは全ての解を表したかどうかは分からない。

方法2を考える。

 

方法2

 

 

上の図のように設定。(\(\theta\)は鋭角)

\(t=\tan\displaystyle\frac{x}{2}\)とおく。

次のように考える。

 

直線は\(y=tx+t\)、円は\(x^2+y^2=1\)

 

と書けて、これを解くと交点が求まる。交点の座標は

\((\displaystyle\frac{1-t^2}{1+t^2},\displaystyle\frac{2t}{1+t^2})\)

 

また、交点の座標は\( (\cos \theta,\sin \theta)\) ともかける。

 

\( (\cos \theta,\sin \theta)=(\displaystyle\frac{1-t^2}{1+t^2},\displaystyle\frac{2t}{1+t^2})\)

 

つまり、\( (\cos \theta,\sin \theta)\) の有理点は無数に存在。

 

\(\cos \theta=\displaystyle\frac{x}{z}\)

\(\sin \theta=\displaystyle\frac{y}{z}\)

 

とすると\( (x , y , z)\) の組は無数に存在。

 

\(\biggl(\displaystyle\frac{x}{z}\biggr)^2+\biggl(\displaystyle\frac{y}{z}\biggr)^2=1\)

 

\(x^2+y^2=z^2\) は無数に存在。

 

次にここからも一般解を求める。\(t=\displaystyle\frac{n}{m}\)  (\(n<m\))として、これを代入。

 

\(\displaystyle\frac{x}{z}=\displaystyle\frac{m^2-n^2}{m^2+n^2}\)

 

\(\displaystyle\frac{y}{z}=\displaystyle\frac{2mn}{m^2+n^2}\)

 

よって答えは

 \(x=m^2-n^2\)、\(y=2mn\)、\(z=m^2+n^2\) (ただし、\(x,y,z\)は自然数)

 

 

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