目次
\(\sqrt 2\) が無理数である証明
背理法
\(\sqrt 2\) が有理数であると仮定する。
\(\sqrt 2=\displaystyle\frac{m}{n}\) （\(m\)と\(n\)は互いに素な自然数。 ）
両辺を二乗して分母を払うと
\(m^2=2n^2\) ……①
\(m^2\)が2の倍数となる。
「\(m^2\)が2の倍数となる。→\(m\)が2の倍数となる。」は真。
（対偶取って示すか、\(m\)を場合分けして示す）
つまり、\(m\)が2の倍数となるので \(m=2k\) （\(k\)は自然数）とおける。
①に代入すると \(n^2=2k^2\) となり同様の議論で\(n\)も2の倍数。
\(m\)と\(n\)がともに2の倍数となり、互いに素であることに反するので\(\sqrt 2\) は無理数である。
無限降下法
背理法の証明で、\(m\)と\(n\)がともに2で割れる（有理数仮定ならば）と分かったが、さらにこれを続けていくと、\(m\)、\(n\)ともに無限に2で割り切れ続けるということになってしますが、このような自然数は存在せず矛盾。
よって、\(\sqrt 2\) は無理数である。
素因数分解の一意性
先ほど同様に仮定すると \(m^2=2n^2\) となることが分かっていた。
ここから素因数分解の一意性（素因数分解は順番考えなければ1通りしかない。）を考える。
上の式の左辺は2で偶数回割れる、一方右辺は奇数回2で割れる。という矛盾が生じる。よって、素因数分解の一意性に矛盾、\(\sqrt 2\) は無理数である。
連分数
\(\sqrt 2=1+\displaystyle\frac{1}{2+\displaystyle\frac{1}{2+\displaystyle\frac{1}{2+\cdots}}}\)
第二項が無限に連分数が続く→有理数ではない。
\(\sqrt 2\) は無理数である。
※「有理数ならば連分数展開が有限回で終了する」という定理がある。
