√2が無理数であることの証明

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\(\sqrt 2\) が無理数であることの証明

 

いくつか紹介します。

 

 

背理法

 \(\sqrt 2\) が有理数であると仮定する。

 

 \(\sqrt 2=\displaystyle\frac{m}{n}\) (\(m\)と\(n\)は互いに素な自然数。 )

 

両辺を二乗して分母を払うと

\(m^2=2n^2\) ……①

 

\(m^2\)が2の倍数となる。

 

「\(m^2\)が2の倍数となる。→\(m\)が2の倍数となる。」は真。

 

(対偶取って示すか、\(m\)を場合分けして示す)

 

つまり、\(m\)が2の倍数となるので \(m=2k\) (\(k\)は自然数)とおける。

 

①に代入すると \(n^2=2k^2\) となり同様の議論で\(n\)も2の倍数。

 

\(m\)と\(n\)がともに2の倍数となり、互いに素であることに反するので\(\sqrt 2\) は無理数である。

 

無限降下法

背理法の証明で、\(m\)と\(n\)がともに2で割れる(有理数仮定ならば)と分かったが、さらにこれを続けていくと、\(m\)、\(n\)ともに無限に2で割り切れ続けるということになってしますが、このような自然数は存在せず矛盾。

よって、\(\sqrt 2\) は無理数である。

 

素因数分解の一意性

 先ほど同様に仮定すると

 \(m^2=2n^2\) となることが分かっていた。

ここから素因数分解の一意性(素因数分解は順番考えなければ1通りしかない。)を考える。

上の式の左辺は2で偶数回割れる、一方右辺は奇数回2で割れる。という矛盾が生じる。よって、素因数分解の一意性に矛盾、\(\sqrt 2\) は無理数である。

 

 連分数

\(\sqrt 2=1+\displaystyle\frac{1}{2+\displaystyle\frac{1}{2+\displaystyle\frac{1}{2+\cdots}}}\)

 

第二項が無限に連分数が続く→有理数ではない。

\(\sqrt 2\) は無理数である。

※「有理数ならば連分数展開が有限回で終了する」という定理がある。

 

 

 

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