固有値と固有関数

線形代数
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固有値 固有関数

ある行列$A$が与えられて、その行列が$A\boldsymbol{x}=\lambda \boldsymbol{x}$を満たすとき、$\lambda$を固有値、$\boldsymbol{x}$を固有関数という。

※固有ベクトルは定数倍の任意性がある。(定数倍しても変わらないから)

 

解法

$A\boldsymbol{x}=\lambda \boldsymbol{x}$の両辺に単位行列$I$をかけて、左辺にまとめると、

$(A-\lambda I)\boldsymbol{x}=0$となる。

 

ここで、非自明な解が欲しいので$\boldsymbol{x}\neq 0$であってほしい。すなわち、

$\mathrm{det}(A-\lambda I)=0$が要求される。この方程式を固有値方程式と呼びます。

※$\mathrm{det}$は行列式です。絶対値記号で書くこともあるので注意!

 

例題

$A=\left(\begin{array}{cc}2 & 3\\ 1 & 4\end{array}\right)$

 

$\mathrm{det}(A-\lambda I)=\mathrm{det}\left(\begin{array}{cc}2-\lambda & 3\\ 1 & 4-\lambda \end{array}\right)$

$=(2-\lambda)(4-\lambda)-3=\lambda^2-6\lambda+5=0$

より、固有値は$\lambda=1 , 5$

 

次に固有関数を求める。元の式$(A-\lambda I)\boldsymbol{x}=0$で$\lambda$を代入すると

 

$\lambda=1$のとき

 

$(A-\lambda I)\boldsymbol{x}=\left(\begin{array}{cc}1 & 3\\ 1 & 3\end{array}\right)\boldsymbol{x}=0$

 

よって答えは $\boldsymbol{x}=\left(\begin{array}{c}3\\ -1 \end{array}\right)t$

 

$\lambda=5$のとき

 

$(A-\lambda I)\boldsymbol{x}=\left(\begin{array}{cc}-3 & 3\\ 1 & -1\end{array}\right)\boldsymbol{x}=0$

 

よって答えは $\boldsymbol{x}=\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \end{array}\right)t$

 

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