ベンフォードの法則

数学のお話
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ベンフォードの法則

ベンフォードの法則とはあるランダムな数字の集団を取ってきてその最初の桁を調べると1が出る確率が大きく、9が出る確率は小さいというものです。

1が出る確率は30%にも及ぶ一方、9が出る確率は5%ほどしかない。

自然な数の集団には多くの場合適用されるが、人工的なものでは当てはまらないことが多い。

 

 

これを使うことで、金融関連の文書などにおける不正を見つけることが出来る。

※不正すると、均等に数字が出現してしまうため。

 

 

2の累乗の例の計算

最高位の数が$k$であるとは

\(k\times 10^m \leq A <(k+1)\times 10^m\)  となることである。

 

今、例として$A=2^n$を考える。底を10として対数を取ると

$\log_{10} k+m\leq n\log_{10} 2< \log_{10} (k+1) +m$

 

$\displaystyle\frac{\log_{10} k+m}{\log_{10} 2}\leq n< \displaystyle\frac{\log_{10} (k+1) +m}{\log_{10} 2}$

 

$k$は1から9まであるので最高位が$k$である確率は

 

$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{\log_{10} (k+1)-\log_{10} k}{\log_{10} 2}}{\displaystyle\sum_{k=1}^{9}\left(\displaystyle\frac{\log_{10} (k+1)-\log_{10} k}{\log_{10} 2}\right)}$

 

$=\log_{10} \left(1+\displaystyle\frac{1}{k}\right)$

※分母は計算すると大部分が打ち消し合って消えるので結果として$\displaystyle\frac{1}{\log_{10} 2}$になる。

 

 

※例として$k=1$を取ると(最初の桁が1となる時)、30%にも達することが分かる。

 

 

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