[mathjax]
\(0.999999\cdots =1\)
題にもある通りの式です。
この式は果たして数学的に真でしょうか、偽でしょうか。思うところはあると思いますが、結論から言うと数学的には真です。
\(0.9999\cdots\simeq 1\)ではなく、\(0.99999\cdots=1\)です！
イメージ
\(\displaystyle\frac{1}{3}\) は計算すると\(0.333333…………\) なので
\(1=\displaystyle\frac{3}{3}=3\times\displaystyle\frac{1}{3}=3\times0.3333333\cdots＝0.9999999\cdots\)
という感じです。（あくまでイメージです）
ここからは真面目な証明をしていきます。今回は2個紹介します。
証明1
まず \(x=0.9999999\) \(\cdots\) ①
と置いてしまいます。ここで両辺を10倍します。
\(10x=9.9999999\) \(\cdots\) ②
②－①を実行すると\(9x=9\)となるので
\(x=1\)
よって証明されました。扱いにくい無限に続く部分を引き算でうまく消去しています。
証明2
無限級数を使います。
\(0.99999\cdots ＝0.9+0.09+0.009\cdots\) (初項\(0.9\)、公比\(0.1\)の無限等比級数）
\(=\displaystyle\frac{0.9}{1-0.1}\)
\(=1\)
となります。
