0.999999……=1

数学のお話
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[mathjax]

\(0.999999\cdots =1\)

題にもある通りの式です。

この式は果たして数学的に真でしょうか、偽でしょうか。思うところはあると思いますが、結論から言うと数学的には真です。

\(0.9999\cdots\simeq 1\)ではなく、\(0.99999\cdots=1\)です!

 

イメージ

\(\displaystyle\frac{1}{3}\) は計算すると\(0.333333…………\) なので

 

\(1=\displaystyle\frac{3}{3}=3\times\displaystyle\frac{1}{3}=3\times0.3333333\cdots=0.9999999\cdots\)

という感じです。(あくまでイメージです)

ここからは真面目な証明をしていきます。今回は2個紹介します。

 

証明1

まず \(x=0.9999999\)   \(\cdots\) ①

と置いてしまいます。ここで両辺を10倍します。

\(10x=9.9999999\)   \(\cdots\) ②

 

②-①を実行すると\(9x=9\)となるので

\(x=1\)

よって証明されました。扱いにくい無限に続く部分を引き算でうまく消去しています。

 

証明2

無限級数を使います。

\(0.99999\cdots =0.9+0.09+0.009\cdots\)          (初項\(0.9\)、公比\(0.1\)の無限等比級数)

\(=\displaystyle\frac{0.9}{1-0.1}\)

\(=1\)

となります。

 

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