魔法陣

魔法陣数学のお話
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魔法陣

魔法陣とは、\(3\times 3\) (\(n\times n\))のマス目に縦横斜め全ての和が等しくなるように\(1\)~/(n^2\)の数を配置したもの。

 

 

 

性質

連続する9整数の魔法陣を考える。すなわち、「\(m+1\)~\(m+9\)」とおくと

 

・中央の数は中央値(\(m+5\))である。

・魔法陣は本質的には一通りしかない。

 

証明

 

 

\(\displaystyle\sum_{m=1}^{9} (m+k)=9m+45\)

 

よって、一列の和はすべて\(3m+15\)となる。ここで、以下の恒等式が成りたつ。

 

\((a+e+i)+(d+e+f)+(g+e+c)=(a+d+g)+(c+f+i)+3e\)

 

カッコ内は魔法陣の性質より、すべて\(3m+15\)であるので、\(e=m+5\)となる。

 

 

一通り

回転したら重なるので、\(a=m+1,b=m+1\)のいずれか。

 

\(a=m+1\)と仮定すると、\(i=m+9\)となるので、

\(0=(c+f+i)-(a+b+c)=f+(m+9)-(m+1)-b=f-b+8\) 

 

よって、\(f=b+8\)であるが、残りの組で差が8になる組は作れないので矛盾。

 

\(b=m+1\)、\(h=m+9\)となる。

 

ここで、\(a+c=2m+14\)より、\(a=m+6\)、\(c=m+8\)。(対称性より逆にしても同じ。)

 

そして、残りも一通りに決まる。

 

\(m=0\)の場合の魔法陣。

 

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