1+1=2 証明

数学のお話
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$1+1=2$

 

準備

証明とは言っていますが、証明するというよりは公理(ペアノの公理)から導かれることを確認するといった形になります。(こういう風に定義すれば$1+1=2$になるということを確認する形)

 

 

ペアノの公理

①自然数$0$が存在

②任意の自然数$a$の後者が存在($\mathrm{suc}(a)$と書くことにする)

③$0$はどんな自然数の後者でもない

④異なる自然数は異なる後者を持つ

⑤0がある性質を満たす、$a$も満たせば$\mathrm{suc}(a)$も満たす⇒すべての自然数で満たす

 

加法定義

① $a+0=a$

② $a+\mathrm{suc}(b)=\mathrm{suc}(a+b)$

 

証明

加法定義の②に$a=\mathrm{suc}(0),b=0$を代入すると

 

$\mathrm{suc}(0)+\mathrm{suc}(0)=\mathrm{suc}(\mathrm{suc}(0)+0)=\mathrm{suc}(\mathrm{suc}(0))$

 

$\mathrm{suc}(0)=1,\mathrm{suc}(\mathrm{suc}(0))=2$と定義すると、$1+1=2$となります。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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