完全数

数学のお話
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完全数

 

完全数とは

自身を除く約数の総和が自身に等しくなる数。

具体的な数でいうと小さい順に「\(6,28,496,8128,33550336\cdots\)」

\(6\)を例にとると、\(6\)の約数は「\(1,2,3,6\)」であるが、自身を除く約数の総和は

\(1+2+3=6\)となり、元の数に等しくなる。同様に

\(1+2+4+7+14=28\)

 

メルセンヌ素数と完全数

メルセンヌ数とは、\(2^n-1\)で表される数。それが素数の場合、メルセンヌ素数という。

ある数、\(2^n-1\)がメルセンヌ素数の時、\(2^{n-1}\times (2^n-1)\)は完全数となる。

 

証明

約数総和公式を用いると

\(\left(\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} 2^{k}\right)\left(\displaystyle\sum_{i=0}^{1} (2^n-1)^{i}\right)=(1+2+4+\cdots 2^{n-1})(1+(2^n-1))\)

\(=2\times (2^{n-1}\times (2^n-1))\)

となって、自分自身を除くと約数の総和となる。

偶数の完全数

また、偶数の完全数は\(2^{n-1}\times (2^n-1)\)の形に限られる。

 

証明

偶数の完全数を\(N=2^{n-1} A\)とおく。(\(n\)は2以上の自然数、\(A\)は奇数)

約数の総和を\(\sigma(N)\)と書く。

\(\sigma(N)=\sigma(2^{n-1})\sigma(A)=(2^n-1)\sigma(A)\)

\(\sigma(N)=2N=2^n A\)

二式より \((2^n-1)\sigma(A)=2^n A    \cdots  ①\)  

\((2^n-1)\)は奇数なので、\(\sigma(A)=2^n Y \)とおける。上に代入すると

\(\sigma(N)=(2^n-1)2^n Y \)  となるので、\(Y=1\)を示せばよい。

①より、\(A=Y(2^n-1)\)なので、\(Y \neq 1\)のとき

\(\sigma(A)\geq 1+Y+(2^n-1)Y=\sigma(A)+1\)

となり、矛盾するので、\(Y=1\)。

よって、完全数は\(\sigma(N)-N=2^{n-1}(2^n-1) \) の形に限られる。

 

未解決問題

  • 完全数は無限に存在するか?
  • 奇数の完全数は存在するか?
  • 1の位が\(6\)か\(8\)以外の完全数は存在するか?

 

 

 

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