1=2

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\(1=2\)

数学を使ったトリック的です。

お題の\(1=2\) の証明です。(いうまでもなく数学的には当然偽です。)

では、いくつか紹介します。

 

 

1つ目のやり方

 

証明

\( x=y\) とする。

\(xy=y^{2}\)                ・・両辺に\(y\)をかける。

\(xy-x^{2}=y^{2}-x^{2}\)         ・・両辺\(x^{2}\)を引く。

\( x(y-x)=(y+x)(y-x) \)           ・・因数分解

\( x=y+x\)                 ・・両辺\(y-x\)で割る。

\(x=2x\)                 ・・\(x\)と\(y\)は等しいので。

\(1=2\)                ・・両辺\(x\)で割る。

「両辺\(y-x\)で割る」の部分が間違いの原因です。

これは0なので割ってはいけません。

 

2つ目のやり方

 

証明

天下り的ではありますが、次の式が成り立ちます。

\(1-3+\displaystyle\frac{9}{4}=4-6+\displaystyle\frac{9}{4}\)

\( (1-\displaystyle\frac{3}{2})^{2}= (2-\displaystyle\frac{3}{2})^{2}\)

と変形でき、二乗を外すと

\( 1-\displaystyle\frac{3}{2}= 2-\displaystyle\frac{3}{2}\)

よって

\(1=2\)  

※今度の原因は二乗を外したところが間違いの原因です。

 

3つ目のやり方

 

証明

自然数の最大の値を\(x\)とおく。

すると、

\(x \geq x+1\)  (\(x\)は最大より)

一般に

\(x+1 \geq x\)  が成立。

二式より

\(x+1 = x\) が成立。

両辺 \(  (x-1) \) で引くと

\(2 = 1\)    が成立。

 

※これに関しては自然数の最大が存在するという仮定が矛盾を生んでいます。

 

まとめ

このような変な等式、不等式を導く数学トリックは概ね、式変形のどこかに数学的に間違った操作が入ってるのがオチです。

それを利用すれば、作れます。

 

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